Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas penerapan aturan Cauchyness untuk menghitung sudut di ruang antara dua vektor U dan V. Dengan menggunakan aturan tersebut, kita dapat menghasilkan formula kompleks yang melibatkan panjang vektor dan cosinus theta. Hasil perhitungan dot product antara U dan V akan memberikan sudut antara keduanya, di mana jika U dot V sama dengan 0, maka vektor U tegak lurus pada vektor V. Vektor 0 menjadi vektor spesial yang selalu menghasilkan 0 saat didot dengan vektor lain, menunjukkan sifatnya yang tegak lurus pada semua vektor di ruang.

Baik, untuk menggunakan aturan Cauchyness ini untuk mendapatkan sifat yang penting untuk hasil kali titik tadi, dot produk tadi.

Pandang ini, saya punya sebuah vektor U dan sebuah vektor V seperti ini.

Jadi pangkalnya di sini, ujungnya di sini, pangkalnya di sini, ujungnya di sini.

Dan antara mereka ada sudut teta seperti itu.

Maka saya bisa melihat vektor yang hijau ini, dan vektor yang hijau ini adalah vektor U dikurangi V.

Saya cukup bertanya, siapa yang kalau saya tambahkan dengan V itu akan menghasilkan U?

Nah, jadi kalau saya terapkan aturan Cauchyness tadi, saya punya panjang vektor U ini kuadrat, aturan Cauchyness.

Ditambah dengan panjang vektor V, kuadrat.

Dikurangi dengan 2 kali U panjangnya dan V.

Ini harus menghasilkan panjang dari U-V kuadrat.

Jadi formula yang kompleks ini tidak lain adalah aturan Cauchyness yang sudah kita kenal tadi, yang sudah kita perlihatkan tadi.

Nah, jangan lupa tadi saya punya bahwa panjang U kuadrat itu adalah U didot dengan U.

Jadi saya bisa ubah ini menjadi U-V didot dengan U-V.

Dan kalau saya lakukan aljabarnya, saya akan dapatkan U.U kemudian minus 2U.V.

Perhatikan, saya sudah menggunakan sifat bahwa U.V sama dengan V.U.

Ya, jadi saya balik seperti itu, ditambah dengan V.V.

Nah, Anda lihat bahwa panjang U ini adalah panjang U kuadrat dan ini adalah panjang V kuadrat.

Dikurangi 2U.V dikali dengan U.V seperti ini.

Dan ini tentu akan saling menghilangkan, perhatikan nih.

Ini akan saling menghilangkan dengan ini, ini akan saling menghilangkan dengan ini.

Sehingga saya dapatkan sebuah sifat yang bagus, minus 2-nya juga cancel.

Saya dapatkan di sini bahwa U didot dengan V itu tidak lain adalah panjang dari U didot dengan panjang dari V.

Dan formula ini adalah cara yang kita dapat terapkan untuk menghitung sudut di ruang.

Dengan mengambil vektor-vektor ini yang membentuk sudut tersebut.

Dan kemudian membaginya dengan panjangnya, menghitung dot product.

Dan dari sini kita akan dapatkan sudutnya.

Selain daripada itu, kita juga bisa membaca seperti ini.

Apa yang terjadi kalau thetanya adalah pi per 2?

Dengan demikian, karena ini tidak bisa 0 kecuali dia vektor 0.

Jadi saya punya sebuah sifat yang luar biasa penting yaitu U dot V sama dengan 0 jika dan hanya jika U tegak lurus pada V.

Tetapi perhatikan bahwa U jika didot dengan vektor 0 itu selalu 0.

Jadi vektor 0 adalah vektor yang spesial.

Suatu vektor yang kalau ditambahkan dengan siapapun akan tetap ada di sana memberikan hasil identitas.

Selain daripada itu, dia kalau didot produkkan dengan vektor apapun hasilnya selalu 0.

Jadi secara geometris vektor 0 adalah satu-satunya vektor di ruang yang tegak lurus pada semua vektor di ruang tersebut.