Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas metode Lagrange dalam mencari maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) dengan kendala g(x, y) konstan. Dengan menggunakan faktor gradient, masalah ini dapat direduksi menjadi mencari titik di mana level set dari g(x, y) bersinggungan dengan level set dari f(x, y). Dalam metode ini, gradient f dan gradient g harus sejajar, sehingga diperoleh sistem persamaan yang memberikan solusi untuk nilai maksimum dan minimum dari f. Metode ini melibatkan bilangan pengali Lagrange untuk menemukan solusi yang optimal.

Jadi masalah mencari maksimum dan minimum dari fungsi fx,y

yang dikenakan pada kendala gx,y sama dengan k hanya di dalam ini

itu sudah bisa kita reduksi menjadi permasalahan mencari titik

akan bersinggungan dengan level set fx,y sama dengan c

untuk suatu c ya mencari masalah seperti itu.

Nah mari kita mengingat lagi bahwa yang dinamakan dengan faktor gradient

itu senantiasa tegak lurus pada kurva ketinggian

atau dengan kata lain faktor gradient akan selalu tegak lurus terhadap garis singgung ini

kalau ini adalah garis singgung tentu saja karena mereka menyinggung di titik ini

maka garis singgung yang kuning dan garis singgung yang merah ini akan sama

jadi dengan kata lain kalau misalkan faktor gradient dari f

dia akan tegak lurus pada garis yang biru ini

kemudian gradient dari yang merah juga menyinggung ini

ya mungkin ada di bawah sini tapi mungkin juga di

mungkin saja ke arah sana gak masalah seperti itu

jadi ini gradient f maka ini adalah gradient k

saya mencari titik masalah ini berubah menjadi cari titik

yaitu gradient g sama dengan searah seperti ini

kelipatan jadi sama dengan lambda dikali gradient f

atau lebih sering dituliskan dalam bentuk gradient f

harus sama dengan kelipatan dari gradient g

gradient f tentu adalah fungsi di dalam x dan y

gradient g juga adalah fungsi dalam do f do x dan do g do x dan do g do y

masing-masing do f do x dan do f do y adalah fungsi di dalam x y

tapi kita punya 1 ekstra lagi disini parameter lambda

jadi yang tidak diketahui ada 3 x y dan lambda

disebabnya kita butuh 1 persamaan lagi untuk bisa menyelesaikan ini

jadi ditambahkan dengan gx,y sama dengan k

sebab kalau saja gradient f itu searah dengan gradient g

tetapi terjadinya di daerah yang bukan ini

maka itu tidak relevan dengan problem kita

sebab kita hanya perlu mencari titik-titik yang ada disini

jadi masalah mencari maksimum dan minimum disini

berubah menjadi mencari solusi dari sistem persamaan ini

nah sistem persamaan ini akan memberikan kepada kita berhingga buah solusi

sehingga masing-masing solusi tersebut dapat kita substitusikan ke dalam f

untuk kemudian kita tentukan mana yang paling besar dan mana yang paling kecil

itulah nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi f

dan bilangan lambda ini disebut bilangan pengali Lagrange