Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas panjang vektor dan sifatnya dalam geometri di bidang dan ruang. Panjang vektor didefinisikan sebagai akar dari jumlah kuadrat komponen-komponennya. Sifat panjang vektor termasuk selalu non-negatif dan hanya nol jika vektor itu sendiri adalah nol. Selain itu, panjang vektor kelipatan dari vektor U dapat dihitung tanpa memperhitungkan tanda lambda. Terdapat pula sifat ketidaksamaan segitiga, di mana panjang dari dua vektor yang dijumlahkan harus lebih besar atau sama dengan panjang dari vektor hasil penjumlahan tersebut.

Seperti saya katakan tadi, vektor adalah sebuah kuantiti, sebuah besaran yang memiliki panjang dan juga memiliki arah.

Sekarang kita akan secara khusus berdiskusi tentang panjang dari sebuah vektor.

Jadi kalau saya punya sebuah vektor U yang saya bisa tulis menjadi U1, U2 dan U3, komponen-komponennya seperti ini.

Maka panjang vektor dari U itu didefinisikan sebagai akar dari U1 kawadrat ditambah U2 kawadrat ditambah dengan U3 kawadrat.

Ini adalah definisi klasik untuk panjang vektor.

Di matematik kita nanti akan mengenal panjang vektor yang berbeda dengan ini.

Tapi untuk keperluan kita saat ini kita akan batasi untuk panjang vektor yang definisinya seperti ini saja.

Nah satu hal yang menarik di sini adalah sifat-sifatnya panjang dari vektor ini seperti kita lihat,

dia dibentuk oleh sesuatu dikawadratkan ditambah sesuatu dikawadratkan ditambah dengan sesuatu dikawadratkan kemudian diambil akarnya.

Jadi salah satu sifat yang didalam panjang vektor ini adalah panjang vektor U itu senantiasa lebih besar sama dengan 0 berapapun U-nya,

Selalu lebih besar sama dengan 0, nggak ada panjang vektor yang negatif gitu ya.

Dan panjang vektor itu bisa 0 jika dan hanya jika vektor U-nya adalah vektor 0.

Jadi satu-satunya vektor di R3 yang memiliki panjang 0 itu adalah vektor 0.

Nah bagaimana kalau sekarang saya mau tahu vektor kelipatan dari U berapa panjangnya?

Nah secara definisi ini adalah ingat apa itu lambda kali U tidak lain adalah sebuah vektor yang komponen-komponennya setiap komponennya itu dikalikan dengan lambda.

Jadi dia merupakan lambda dikali U1 kawadrat ditambah lambda dikali U2 kawadrat ditambah lambda dikali U3 kawadrat.

Jadi lambda U ini kan komponennya lambda U1, lambda U2, dan lambda U3.

Maka panjangnya kita bisa hitung dengan cara seperti ini.

Dan tentunya Anda lihat bodi sini akan muncul lambda kawadrat, lambda kawadrat, lambda kawadrat.

Sehingga kita dapat tulis lambda kawadrat sama dengan U1 kawadrat ditambah U2 kawadrat ditambah U3 kawadrat.

Dan Anda lihat lambda kawadrat ini bisa keluar dari akar sehingga muncullah harga mutlak lambda dikali dengan panjang U.

Sebab bentuk akar ini adalah panjang dari vektor U.

Jadi kelipatan dari sebuah, sorry panjang dari kelipatan vektor adalah kelipatan dari panjangnya tanpa melibatkan tanda dari lambdanya.

Jadi kalau negatif dia akan menjadi positifnya.

Yang ketiga ini sifat yang kedua dari panjang vektor ini.

Dan sifat yang ketiga itu adalah apa yang dikenal dengan nama aturan atau ketidaksamaan segitiga.

Nah ingat apa yang dimaksud dengan penjumlahan antara dua buah vektor.

Kalau saya punya dua buah vektor seperti ini misalkan vektor U kemudian vektor V seperti ini.

Dan akan kita jumlahkan maka jumlah dari kedua vektor ini sama saja dengan saya memindahkan vektor ini ke sini.

Nah jadi anda lihat kalau kita perhatikan segitiga ini maka panjang U kalau ditambah dengan panjang V.

Panjang U ditambah dengan panjang V dia harus lebih besar sama dengan panjang dari U dan V.

Nah inilah yang dinamakan dengan ketidaksamaan segitiga.

Atau yang lebih sering dituliskan sebagai panjang U ditambah panjang V lebih kecil sama dengan panjang U ditambah dengan panjang V.

Ini adalah sifat-sifat dari fungsi panjang tersebut.

Dia memiliki tiga sifat yang pertama non-negatif dan hanya bisa 0 untuk vektor 0.

Yang kedua yang mengatur urusan kelipatan.

Dan yang ketiga apa yang dikenal dengan nama ketidaksamaan segitiga seperti ini.