Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas persamaan elips, yang merupakan himpunan titik-titik dengan jumlah jarak tetap terhadap dua fokus. Persamaan elips ini dapat direpresentasikan dalam bentuk X per A kuadrat plus Y per B kuadrat sama dengan 1, di mana B adalah akar dari A kuadrat minus P kuadrat. Konsep penting seperti fokus, koordinat, parameter, dan persamaan ellipse dijelaskan secara komprehensif dalam video ini.

Objek kedua yang akan kita diskusikan penurunan persamaannya adalah apa yang disebut dengan ellipse.

Dan definisinya yang dimaksud dengan ellipse adalah himpunan titik-titik yang memiliki jumlah jarak terhadap dua buah titik tertentu yang senantiasa tetap.

Dan kedua titik tersebut itu disebut biasanya disebut F dan F aksen untuk fokus dan fokus bayangannya.

Nah seperti diskusi kita sebelumnya kita tahu bahwa kita punya cukup banyak kebebasan untuk memilih koordinatnya di mana.

Tapi kali ini saya langsung saja bahwa koordinatnya saya letakkan titik originnya berada di tengah-tengah antara kedua fokus tersebut.

Dan sumbu-sumbu koordinatnya melewati kedua fokus dan tegak lurus pada garis yang melalui fokus tersebut.

Jadi saya anggap seperti ini saja dan persamaan ini adalah ini koordinat sumbu X dan ini adalah sumbu Y.

Nah yang pertama kita harus lihat bahwa kita membutuhkan sebuah parameter lain di sini selain P yaitu apa.

Bayangkan kalau saya punya jumlah misalkan titik yang kuning ini itu ada pada ellipse maka jarak ini ditambahkan dengan jarak ini itu harus selalu sama.

Tapi kalau saya geser sedikit titiknya ke sini maka jumlah ini dengan jumlah ini juga sama dan dia akan memberikan kepada saya persamaan ellipse yang lain.

Jadi saya membutuhkan sebuah parameter satu buah parameter lagi untuk memfiksikan ini.

Jadi kalau misalkan saya lihat jumlah ini adalah ini ditambah dengan ini.

Nah jumlah jarak ini dan ini itu saya sebut sebagai 2A.

Karena saya ingat bahwa oke kira-kira setengah dari ini dan setengah dari ini kira-kira seperti itu.

Jadi A nya itu kurang lebih adalah jarak dari sini ke sini itu adalah A nya.

Jadi kalau jumlah jaraknya selalu tetap yaitu sama dengan 2A.

Himpunan titik-titik X, Y yang jaraknya terhadap titik ini dan titik ini jumlahnya selalu sama.

Berarti saya bicara 2 buah akar disini jaraknya.

Ini dengan ini itu adalah X dikurangi P kuadrat ditambah Y kuadrat.

Kalau saya tambahkan dengan yang kedua ini adalah X ditambah dengan P kuadrat.

Dan jumlahnya harus selalu sama dengan 2A.

Dan 2A ini kurang lebih adalah parameter yang saya pilih tadi untuk memfiksikan jumlahnya.

Nah Anda lihat saya punya 2 buah akar disini dan saya mau melenyapkan akar ini.

Maka yang paling sederhana adalah kalau saya bawa salah satunya ke ruas kiri.

Menjadi min disitu dan ini menjadi tambah disini.

Saya dapatkan X dikurangi P kuadrat ditambah Y kuadrat.

Sama dengan dan ini kalau saya kuadratkan saya akan dapatkan ini kuadrat.

Dia adalah X tambah P kuadrat plus Y kuadrat.

Kemudian ditambah dengan ini kuadrat yaitu 4A kuadrat.

Dan dikali dengan perkalian antara keduanya.

Jadi 2 kali ini 4A dikali dengan akar ini.

Akar dari X tambah P kuadrat plus Y kuadrat.

Jadi meskipun kita sudah melakukan kuadrating.

Sudah dikuadratkan kedua belah pihak kita masih tetap mendapatkan salah satu bentuk akar lagi disini.

Dan untuk menghilangkannya kita akan mengkuadratkan sekali lagi.

Tetapi sebelum kita kuadratkan sekali lagi kita akan lakukan dulu penyederhanaan.

Perhatikan disini ada Y kuadrat disini ada Y kuadrat.

Ini kalau saya buka kurungnya saya akan dapatkan disini X kuadrat minus 2PX plus P kuadrat.

Sedangkan ini kalau saya kuadratkan saya akan punya X kuadrat plus 2PX plus P kuadrat.

Sehingga kalau ini saya bawa kesana saya punya minus 4PX.

Kemudian oke ini tanda disini negatif jadi tidak terlalu menyenangkan.

Ini yang saya pindah kesana saya dapatkan disini 4A dikali dengan akar dari X tambah P kuadrat plus Y kuadrat.

Harus sama dengan berarti ini pindah kesini saya akan punya 4A kuadrat dikurangi jadi plus 4PX seperti itu.

Saya dapat melakukan lagi penyederhanaan lagi dengan menghilangkan empatnya disini.

Dan kalau saya kuadratkan sekali lagi saya akan dapatkan ruas kirinya.

Kalau dikuadratkan saya akan dapatkan disini A kuadrat dikali dengan X tambah P kuadrat plus Y kuadrat.

Akan sama dengan ini kalau saya kuadratkan saya akan punya A pangkat 4.

Kemudian plus 2A kuadrat PX plus P kuadrat X kuadrat seperti itu.

Nah sekarang yang tinggal saya lakukan adalah melakukan penyederhanaan ini.

Disini ada X kuadrat kali A kuadrat berarti saya punya A kuadrat X kuadrat.

Lalu saya punya 2PX dikali A kuadrat maka saya punya 2A kuadrat PX.

Dan saya punya P kuadrat dikali dengan A kuadrat maka saya punya disini A kuadrat P kuadrat.

Dan bagian kanannya itu tetap disini menjadi A pangkat 4 plus 2A kuadrat PX kuadrat plus P kuadrat X kuadrat kalau kita kuadratkan.

Nah dari sini kita lihat bahwa kita punya 2 suku yang sama maka suku ini hilang.

Saya punya bentuk seperti ini ini X kuadrat dan ini juga X kuadrat maka bisa dapat saya satukan disini.

Oh disini ada Y kuadrat maaf plus Y kuadrat A kuadrat Y kuadrat disini A kuadrat dikali dengan Y kuadrat.

Dan ini dapat saya satukan sehingga saya dapatkan disini A kuadrat minus P kuadrat dikali dengan X kuadrat plus ini sudah hilang.

Ini menjadi A kuadrat Y kuadrat sama dengan dan ini dapat saya bawa kesini untuk saya dapatkan A pangkat 4 dikurangi dengan A kuadrat P kuadrat.

Dan ini dapat saya sederhanakan menjadi A kuadrat dikali dengan A kuadrat minus P kuadrat.

Nah langkah terakhir adalah tinggal membagi ini dengan suku konstan ini.

Dan ketika kita bagi dengan itu Anda lihat bahwa ini dengan ini akan saling menghilangkan sehingga X nya akan muncul X kuadrat per A kuadrat.

Plus ini A kuadratnya yang akan saling menghilangkan saya akan dapat Y kuadrat sama dengan A kuadrat minus P kuadrat.

Nah perhatikan disini bahwa A tadi adalah jarak ini atau jarak ini kurang lebih kira-kira seperti itu.

Sedangkan P adalah jarak ini jadi A lebih besar dari P.

Akibatnya A kuadrat kurang P kuadrat itu akan lebih besar dari 0.

Dan persamaan ellipse ini mempunyai bentuk yang lebih compact kalau kita tuliskan dalam bentuk X per A kuadrat plus Y per B kuadrat sama dengan 1.

Dimana B nya adalah akar dari A kuadrat minus P kuadrat.