Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang pembangunan polinom Taylor untuk fungsi dua peubah, dimana polinom ini merupakan polinom di dalam dua peubah X dan Y. Dalam proses ini, kita mencari koefisien A0, B1, B2, C1, C2, dan C3 dengan menghitung turunan parsial dari fungsi. Selain itu, video juga menjelaskan konsep vektor gradient dan bidang singgung di titik 0. Dengan menggunakan polinom Taylor order 2, kita dapat mendekati nilai fungsi dua peubah dengan lebih kompak dan efisien.

Seperti juga definisi limit untuk fungsi 2 peubah, kita mencoba dengan melakukan variasi dari definisi limit untuk fungsi 1 peubah.

Maka sekarang kita juga akan mencoba meniru teori yang sudah kita punya tadi untuk nilai maksimum dan minimum untuk fungsi 1 peubah

Seperti yang saya katakan tadi, senjata utama kita adalah polinom taylor.

Oleh karena itu mari kita pertama kali membangun polinom taylor untuk fungsi 2 peubah.

Secara mudahnya polinom taylor ini tidak lain adalah sebuah polinom di dalam 2 peubah X dan Y.

Oleh karena itu saya tuliskan saja bentuk polinom yang paling umum untuk fungsi 2 peubah seperti itu.

Dan tentu saya tambahkan titik-titik di sini, artinya yang saya lihat di sini adalah urayan taylor.

Tapi kalau mau polinom berarti saya akan stop sampai di mana, sampai di derajat tertentu.

Nah, tadi kita sudah melihat bahwa ternyata kita cukup memperhatikan hanya sampai derajat yang kedua saja untuk membangun teori kita.

Jadi kali ini pun juga sama, saya hanya akan melihat kira-kira sampai order yang kedua saja, ini tiga lagi, dua saja seperti itu.

Nah, bagaimana mencari A0? A0 sangat gampang, kita tinggal mensubstitusikan X sama dengan 0 dan Y sama dengan 0.

Jadi saya punya A0 sama dengan F00, sangat sederhana.

Bagaimana untuk mencari B1, B2, dan seterusnya?

Mungkin B1 terlebih dahulu, saya bisa menghitung turunan parsial dari F terhadap X.

Dan tentunya ini adalah A0 konstanta, berarti kalau saya turunkan, hilang.

Ini tinggal B1, ini 0, ini menjadi 2C1X tambah C2Y.

Dan lagi-lagi kalau saya substitusikan 0,0 maka yang tersisa hanyalah B1.

Berarti dari sini saya dapatkan bahwa B1 adalah turunan parsial dari F terhadap X di 0,0 seperti itu.

Dan dengan cara yang sama, saya bisa punya turunan parsial terhadap Y,

maka sekarang yang hilang malah ini, jadi B2-nya yang tersisa.

B2 ini habis, ini menjadi C2X, kemudian itu menjadi plus 2C3Y.

Dan lagi-lagi kalau saya substitusikan 0,0 maka saya dapatkan B2 di sini adalah do F do Y di titik 0,0.

Jadi saya sudah punya A0-nya apa, saya sudah punya juga B1-nya apa, dan saya sekarang sudah dapatkan juga B2-nya.

Ya kalau begitu saya turunkan sekali lagi fungsi ini, do F do X terhadap X.

Dan kalau ini saya hitung turunannya terhadap X, ini habis tinggal 2C1 dan ini juga 0.

Berarti saya dapatkan di sini bahwa C1 adalah 1 per 2 dari do 2F do X 2 di titik 0,0 seperti itu.

Saya turunkan ini terhadap X dan kemudian terhadap Y sehingga ini habis, ini habis saya dapatkan C2.

Dari sini saya dapatkan bahwa C2 haruslah do 2F do X do Y 0,0.

Nah di sini saya punya sedikit masalah, yaitu apa?

Bahwa C2 di sini juga bisa didapatkan dengan cara menurunkan ini terhadap X.

Jadi saya punya do 2F do Y kemudian terhadap X hasilnya juga C2.

Jadi saya seperti punya 2 definisi untuk C2.

Nah ini yang kemudian kita asumsikan harus sama.

Jadi ini syarat supaya F itu punya turunan di 0,0 adalah kalau turunan campur seperti ini,

turunan parsial yang campuran seperti ini dia ada dan continue dan harus sama di situ.

Jadi ini harus sama maka ini tidak akan terjadi konflik di sana.

Terakhir saya hitung turunannya sekali lagi terhadap Y 2 kali yang ini maka saya dapatkan 2C3.

Sehingga saya dapatkan di sini bahwa C3 harusnya adalah 1 per 2 dikali dengan do 2F do Y2 di titik 0,0.

Jadi apa yang dapat saya lakukan sekarang?

Dari hasil ini saya dapat mengganti koefisien-koefisien di sini.

Jadi di sini B1nya saya bisa ganti dengan do F do X di titik 0,0 kali X.

Dan B2 dapat saya ganti dengan ini sehingga saya ganti ini dengan di titik 0,0.

Ini habis, sudah selesai, saya tidak butuhkan lagi berarti sekarang C1nya saya dapat ganti dengan ini.

Di sini kita lihat bahwa C1nya kan mengandung setengah, C3 juga mengandung setengah.

Jadi saya bisa bawa setengahnya keluar kemudian mengganti C1 dengan do 2F do X2 di titik 0,0 seperti itu.

Tapi karena saya mau menggabungkan setengah di sini maka C2nya harus saya lengkapi dengan 2 do 2F do X do Y.

Dan kemudian ini saya bisa ubah menjadi do 2F do Y2 di 0,0.

Dan catat ya, meskipun ini di sini saya tidak menuliskan di 0,0 tapi semuanya ini harus dievaluasi di 0,0.

Supaya bagus saya ganti notasinya di sini dan di sini juga supaya sama saya ganti di sini menjadi do 2F do X2.

Dan di sini do 2F do Y2 dan semuanya dievaluasi di 0,0 seperti itu.

Dan inilah polinom Tyler order 2 untuk turunan, untuk fungsi dua peubah.

Nah perhatikan kalau sekarang 0,0 itu saya tulis sebagai 0 vektor seperti itu.

Maka bentuk ini dapat kita sajikan menjadi lebih kompak lagi.

Jadi Fxy itu sama dengan F0 seperti itu plus kemudian ini.

Ini adalah vektor gradient di 0, nah vektor gradient ini isinya apa?

Kemudian di dot dengan vektor Fxy seperti itu.

Dan kita dapat tulis ini menjadi 1 per 2 dikali dengan, nah bentuk ini itu dapat kita tulis menjadi

Fxy dikali dengan do 2F do X2 do 2F do X do Y do 2F do X do Y dan do 2F do Y2 dikali Xy seperti ini.

Semuanya dievaluasi di X di 0 seperti itu.

Nah ini tinggal pakai ketabahan saja, kalau tidak percaya coba lihat ini setengahnya kita biarkan ya ada di luar.

Kita lihat sini X kali ini saya punya do 2F do X2 kali X.

Jadi kan perkalian antara matriksnya berarti ini dikali dengan ini, itu menjadi ini kali ini plus ini kali ini.

Jadi do 2F do X do Y dikali Y ini adalah komponen pertama, komponen kedua adalah ini kali ini.

Berarti saya punya di sini do 2F do X do Y kali X plus do 2F do Y2 dikali Y itu ini kali ini.

Kemudian matriks ini kita kalikan lagi dengan Xy.

Dari situ kita lihat kalau saya kali X ini semuanya saya punya ini akan jadi X2 Xy.

Kemudian ditambah dengan ini kali ini berarti Xy maka ini dengan ini sama.

Berarti jadi dua kalinya muncul suku ini, ini jadi suku yang ini.

Jadi kita lihat bahwa penulisan ini adalah notasi yang lebih kompak daripada penulisan yang di atas seperti itu.

Kita kenali sekarang bagian ini, ini yang dikenali dengan nama bidang singgung.

Jadi kalau Fnya itu permukaan Z sama dengan Fxy itu seperti ini dan ini titik 0 nya.

Maka ini mendefinisikan bidang singgung seperti itu.

Gradien ini kurang lebih adalah faktor normalnya arah kesananya itu didefinisikan oleh ini.

Enggak sesederhana itu tentu harus melibatkan ini juga.

Kira-kira dia mendefinisikan bidang singgungnya persamaan ini adalah persamaan bidang singgungnya.

Nah ini adalah faktor tambahannya untuk mendapatkan suku kuadratiknya.

Ini yang dikenal dengan nama matriks turunan kedua atau apa yang biasa dikenal dengan nama Hessian matriks.