Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas penggunaan substitusi untuk menyelesaikan soal geometri dalam kalkulus 2, dengan contoh kasus turunan di ruang berdimensi n. Dengan mensubstitusikan nilai yang diberikan, ditemukan titik maksimum dan minimum dari fungsi yang ditinjau. Geometri dari persoalan ini didemonstrasikan melalui pembahasan lingkaran dan garis. Penerapan fungsi dua peubah memungkinkan penyelesaian masalah menjadi lebih sederhana daripada menggunakan kalkulus 1.

Dengan mensubstitusikan 4x sama dengan 3y ke dalam persamaan ini,

dalam hal ini saya memilih x sama dengan 3 per 4y,

maka saya dapatkan 3 per 4y kawadrat plus y kawadrat sama dengan 1,

sehingga saya bisa dapatkan bahwa y kawadrat adalah 16 per 25.

Kemudian dengan mensubstitusikannya ke dalam sini,

kita akan dapatkan bahwa x nya adalah plus minus 3 per 5.

Jadi saya dapatkan 2 buah titik, 3 per 5, 4 per 5 dan minus 3 per 5, minus 4 per 5.

Dan dengan mensubstitusikan titik ini ke dalam fungsi f,

sedangkan ini kalau saya substitusikan dapatnya adalah min 5.

Jadi kita tahu bahwa ini adalah nilai maksimum dan ini adalah titik maksimumnya,

ini adalah nilai minimumnya dan ini adalah titik minimumnya.

Dan kalau kita mau mempelajari geometri dari persoalan ini,

kita lihat bahwa x kawadrat ditambah y kawadrat,

constraint ini sama dengan 1 dia mendefinisikan sebuah lingkaran.

Dan kalau saya buat 3x tambah 4y sama dengan 0,

maka saya akan dapatkan, yuk kita coba ya.

maka saya dapatkan y adalah minus 3 per 4, 3 per 4x, seperti itu.

Kalau saya tambah sedikit, setengah, maka dia mungkin akan jadi seperti ini.

Nah, kalau saya naikkan terus, saya akan mendapatkan sebuah garis yang tepat menyinggung ini,

titik ini tidak lain adalah 3 per 5, 4 per 5.

Dan kalau saya turunkan, saya akan dapat titik yang persis ini,

yang tidak lain adalah minus 3 per 5, minus 4 per 5.

Dan di titik ini nilai F-nya paling besar,

sebab di sini 0 makin ke atas makin naik, turun makin negatif.

Jadi di sini yang paling rendah minimumnya,

dan di sini yang paling tinggi maksimumnya.

Nah, kira-kira geometri dari persoalan ini adalah seperti ini.

Jadi kita lihat di sini bahwa memang betul kita dapat mentransformasikan dengan menggunakan ini

ke dalam persoalan sama dan mendapatkan masalah yang kita sudah kenali di kalkulus 1 dulu.

Tetapi dengan menggunakan fungsi dua peubah, masalahnya bisa menjadi jauh lebih sederhana.