Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas solusi umum Persamaan Differensial kedua untuk kasus ketika A^2-4B<0. Pada kasus ini, jika A^2-4B positif, akan terdapat 2 akar berbeda, yaitu A plus per 2 dan A min per 2. Namun, jika A^2-4B=0, maka akan ada 1 akar yaitu min A per 2. Ketika A^2-4B<0, tidak ada akar real, namun dengan menggunakan bilangan kompleks, solusi dapat dituliskan sebagai rho plus minus I omega. Konsep ini membawa pada pemahaman E pangkat rho plus I omega dan E pangkat rho min I omega yang belum terdefinisikan, namun akan dikonstruksi lebih lanjut.

Secara umum, kalau kita punya persamaan kuadrat seperti ini,

lambda kuadrat plus A lambda plus B sama dengan 0,

maka solusinya itu berbentuk seperti ini.

Untuk kasus yang pertama, kalau A kuadrat dikurangi 4B positif,

maka ini positif, jadi saya akan punya 2 buah akar,

A plus ini per 2 dan A min ini per 2, ya.

Makanya tadi saya bisa mengasumsikan akan ada 2 buah nilai lambda,

lambda 1 dan lambda 2 yang memenuhi persamaan kuadrat.

Sedangkan pada kasus yang kedua, kalau A kuadrat kurangi 4B sama dengan 0,

maka suku yang di dalam akar ini akan hilang,

sehingga saya hanya punya 1 akar yaitu min A per 2.

Makanya tadi kita lihat solusinya mengandung minus A per 2, seperti itu.

Nah, kalau kasusnya sekarang A kuadrat minus 4B lebih kecil dari 0,

ini adalah kasus yang waktu di SMA dulu, kita katakan tidak memiliki akar.

Sayangnya, ini tidak terlalu menyenangkan kalau kita berhenti sampai di sini.

Jadi apa yang akan kita lakukan sekarang?

Yang kita lakukan adalah melakukan sedikit modifikasi,

saya memuliskannya dalam bentuk seperti ini.

Min 1 dikali dengan 4B kuadrat, dikurangi 4B, dikurangi A kuadrat, seperti itu.

Nah, kalau saya bisa tuliskan, saya boleh menuliskan dalam bentuk seperti ini.

Ini masih sama nih, kalau saya kalikan minus, jadi ini jadi plusnya, seperti itu.

Nah, bedanya kalau A kuadrat minus 4B itu negatif, maka bagian ini itu positif.

Jadi, saya bisa seperti memecah akarnya menjadi 2 bagian.

Bentuk ini kemudian akan kita tulis menjadi seperti ini.

Minus A per 2 plus minus akar dari 4B dikurangi A kuadrat per 2, dikali dengan akar minus 1.

Tentu saja ini tidak boleh dilakukan di dalam bilangan real.

Tetapi, kita memperkenalkan sebuah konsep baru yang dinamakan dengan bilangan kompleks,

di mana akar dari min 1 ini kemudian didefinisikan sebagai sebuah bilangan, yaitu yang disebut I.

Jadi, untuk kasus yang ketiga, kalau A kuadrat min 4B lebih kecil dari 0,

maka akarnya, lambda nya itu dapat dituliskan menjadi rho plus minus I kali omega.

Dengan rho nya adalah min A per 2 dan omeganya adalah akar 4B kurang A kuadrat per 2.

Nah, sebenarnya kalau kita lihat seperti ini, berarti lambda 1 adalah rho plus I omega.

Dan lambda 2 adalah rho min I omega. Setuju? Seperti itu.

Dan rho plus I omega itu tidak mungkin sama dengan rho min I omega.

Sebab kalau sama, berarti omeganya harus 0.

Padahal justru omeganya ini yang didefinisikan dengan menggunakan ini, yang negatif, positif.

Jadi tidak bisa 0. Berarti omeganya tidak 0.

Berarti saya punya kasus yang sama persis seperti kasus yang pertama.

Saya harus memberikan arti apa yang dimaksud dengan E pangkat rho plus I kali omega

Ini yang saya sekarang ini belum tahu artinya apa.

Dan kita harus mengkonstruksi apa yang dimaksud dengan kedua bilangan ini.

Nah sebelum kita konstruksi bilangan ini, mari kita perhatikan dulu bentuk ini.

Dengan mengasumsikan bahwa fungsi eksponensial itu harus memenuhi sifat-sifat eksponensial yang sudah kita kenal.

Maka kita bisa tuliskan ini menjadi E pangkat, oh maaf ini harus dikali T ya.

E pangkat rho kali T dikali dengan E pangkat I omega T.

Ini saya tahu karena rho adalah bilangan real jadi E pangkat rho T saya tahu apa itu.

Tetapi E pangkat I omega T itu yang bermasalah dan ini yang nanti akan kita coba kuantifikasikan.

Coba kita lihat apa yang dimaksud dengan E pangkat I omega T.