Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep turunan pada arah vektor U dan gradient dalam Kalkulus 2. Dalam video, dijelaskan cara menghitung turunan pada arah vektor U dengan mengubah posisi X dan Y menjadi vektor V, serta menggunakan vektor U dengan panjang 1. Turunan pada arah U dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian antara gradient dari F di titik X, Y dengan vektor U, yang disebut sebagai turunan berarah dari F pada arah U. Konsep ini menarik karena memungkinkan representasi turunan sebagai perkalian antara dua vektor yang disebut gradient F dan vektor U.

Kembali untuk mengetahui bagaimana caranya kita mendapatkan formula untuk menghitung turunan pada arah U

sebarang tadi, kita harus pindah dan berhenti menggunakan X,Y sebagai posisi

tetapi mengubahnya X,Y menjadi sebuah vektor.

Jadi saya tuliskan X,Y sebagai vektor dan vektor ini saya namakan vektor V, seperti itu ya.

Kemudian saya punya vektor U yang mungkin lebih panjang dari ini,

tetapi saya misalkan panjang U-nya harus sama dengan 1.

Dengan demikian, seberapa besar perubahan besarannya itu hanya tergantung oleh T,

dari T karena panjang U-nya harus semua sama dengan 1.

Jadi saya punya sebuah vektor lain di sini yang adalah V ditambah dengan TU,

seperti itu, ini adalah vektor V ditambah dengan TU.

Jadi kalau sekarang saya melihat sebuah fungsi F yang nilainya pada V plus T kali U,

seperti itu, maka pada dasarnya saya dapat mengurangkan ini dengan FV

dan kemudian saya bagi dengan T, kemudian saya hitung nilai limitnya untuk T yang menuju ke 0,

Nah bentuk ini mungkin agak tidak terlalu menyenangkan,

karena kita lihat di sini bahwa limit ini cukup repot,

di sini kita lihat kalau ini kita kembalikan ke dalam bentuk komponen,

kemudian di sini Y plus T kali U2, seperti itu,

dan kemudian dikurangi dengan F dari X, Y dibagi dengan T.

Nah kalau sekarang saya buat T-nya, Y-nya ini seperti fix, konstan gitu ya,

seperti itu, saya buat ini sebagai konstan,

maka untuk T menuju ke 0 ini tidak lain adalah turunan parsial dari F terhadap X.

Kemudian harus kita kalikan tentunya dengan pengali ini, dengan U-nya di sini,

ya sebab ini kan dibagi delta T berarti seakan-akan kayak U-nya, tersisa U-nya.

Jadi saya punya di sini kurang lebih haruslah sama dengan dou F dou X di titik X, Y,

dan kemudian plus daerah kalau sekarang ini yang saya buat fix,

maka ini tidak lain adalah turunan parsial terhadap arah Y,

dan dengan cara yang sama saya dapatkan di sini dou F dou Y dari X, Y dikali dengan U2.

Jadi kurang lebih turunan dari F pada arah U itu dapat saya tuliskan menjadi bentuk seperti ini.

Dan bentuk seperti ini sangat menarik, mengapa?

Karena saya bisa melihat ini sebagai perkalian antara dua buah vektor.

Vektor yang pertama adalah dou F dou X dan dou F dou Y,

Vektor ini mempunyai nama yang khusus yaitu gradient dari F di titik X, Y, dan ini adalah arah U.

Jadi turunan dari F, turunan berarah dari F pada arah U kurang lebih adalah gradient F dikali dengan vektor U.