Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas uji banding limit, uji banding biasa, & uji rasio dalam konteks barisan dan deret pada mata kuliah Kalkulus 2. Uji banding limit digunakan untuk membandingkan deret dengan menghitung limit dari an dibagi bn, menunjukkan konvergensi atau divergensi. Uji banding biasa lebih sederhana, di mana jika an lebih kecil sama dengan bn, maka konvergensi atau divergensi deretnya sama. Sedangkan uji rasio membandingkan deret dengan deret geometri, menentukan konvergensi atau divergensi berdasarkan nilai rho. Langkah pertama dalam pengujian adalah memeriksa limit an, kemudian memilih uji berdasarkan sifat suku an.

Kesulitan dari menggunakan uji yang kedua ini, uji integral,

itu adalah bahwa kita terlibat dengan menghitung integral seperti ini.

Itu yang membuat masalahnya menjadi sedikit lebih rumit.

Tetapi untuk persoalan-persoalan yang tertentu,

kita barangkali lebih nyaman jika kita boleh menggunakan sifat ini.

Jadi kita menggunakan apa yang disebut dengan nama uji banding limit.

Di dalam uji banding limit kita menghitung L yang tidak lain adalah limit

dari n menuju tahingga dari an dibagi dengan bn.

Maka kita punya sekarang disini sebuah sifat bahwa jika

0 lebih kecil dari L lebih kecil dari tahingga,

maka disini kita punya bahwa sigma an dan sigma bn

itu sama-sama konvergen atau sama-sama divergen.

Ini adalah sifat yang bisa kita gunakan ketika kita tidak lagi bisa menggunakan integral

karena perhitungannya cukup sulit seperti itu dengan membandingkannya dengan deret lain.

Kesulitannya apa? Kita harus bisa memilih kapan bn ini memilih bn yang tepat

untuk bisa menunjukkan apakah dia konvergen atau divergen.

Kemudian saya punya hasil uji yang berikutnya yang dinamakan dengan uji banding biasa.

Kalau uji banding biasa lebih sederhana bahwa ketika kita punya 0 lebih kecil sama dengan an

lebih kecil sama dengan bn maka kita punya disini sigma an divergen mengakibatkan sigma bn divergen.

Dan sigma bn konvergen mengakibatkan sigma an konvergen seperti itu.

Jadi seperti yang dari tadi sudah kita pakai itu,

kalau yang kecil divergen maka yang besar mau gak mau harus divergen juga sigmanya.

Kalau yang besar untuk konvergen maka mau tidak mau sigma yang an nya ini harus konvergen juga,

Dan yang kelima sifat yang kelima itu yang dinamakan dengan uji rasio.

Nah dalam uji rasio persis seperti limit ini yang kita lakukan adalah menghitung rho

yang tidak lain adalah limit n menuju ta hingga dari an plus 1 dibagi dengan an seperti itu.

Dan kalau 0 lebih kecil sama dengan rho lebih kecil sama dengan 1 maka sigma an konvergen.

Sedangkan kalau rho nya lebih besar dari 1 maka sigma an divergen.

Jadi pada dasarnya uji banding rasio ini tidak lain adalah membandingkan dengan sebuah deret geometri.

Kalau rasio nya lebih kecil dari 1 maka kita tau deret nya berbanding persis sama

seperti uji banding limit ini akan sama-sama konvergen atau sama-sama divergen

dengan deret geometri yang kita gunakan sebagai pembandingnya.

Pertanyaannya mungkin sekarang adalah bagaimana atau kapan kita menggunakan pengujian yang mana.

Nah langkah pertama selalu harus berdasarkan sigma soal yang kita terima.

Langkah pertama selalu ada di sini periksa dulu limit an nya karena itu yang paling gampang.

Kalau limit an nya sudah tidak 0 maka jangan harap sigma an nya bisa konvergen.

Jadi ini adalah uji yang paling pertama kita terapkan seperti itu.

Nah yang kedua adalah melihat suku an nya.

Kalau suku an nya itu melibatkan suku-suku seperti R pangkat N,

melibatkan suku-suku seperti N faktorial atau E pangkat N maka gunakan uji rasio untuk itu.

Itu biasanya uji yang paling pas untuk mengerjakan soal-soal seperti itu.

Nah kalau misalkan an nya itu memuat pangkat konstanta dari N

maka yang kita gunakan adalah uji banding limit ini.

Dengan pembanding limitnya yang harus kita pilih dengan hati-hati.

Nah nanti saya akan melihatkan lewat contoh-contoh bagaimana memilih bn yang tepat.

Nah kalau sudah diperiksa ini gagal memenuhi tidak bisa digunakan limitnya 0,

sudah pakai atau dilihat tidak mengandung uji faktor-faktor yang membuat kita perlu pakai uji rasio

atau kalau tidak bukan merupakan pangkat konstan jadi uji banding 3 tidak dapat digunakan

maka baru kita terapkan entah uji integral atau uji banding biasa.

Mengapa? Karena kedua uji inilah yang termasuk yang paling sulit.

Jadi kita coba dulu dengan menggunakan ini yang paling mudah

terus kemudian dengan ini kalau suku-sukunya tertentu

yang kedua ini disini kalau dia R pangkat N, N faktorial atau E pangkat N

disini atau 2 pangkat N, 3 pangkat N kalau disini justru N kwadrat, N pangkat 3, N pangkat 7

Diluar itu entah pakai ini atau pakai ini.