Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep vektor di ruang berdimensi tiga yang direpresentasikan oleh sumbu X, Y, dan Z. Vektor merupakan objek dengan panjang dan arah yang dapat diinterpretasikan sebagai pergerakan. Penjumlahan vektor memiliki sifat komutatif dan ada vektor khusus, yaitu vektor 0 yang hasil penjumlahannya tetap pada posisi awal. Selain itu, terdapat operasi perkalian antara bilangan dan vektor yang mempengaruhi panjang dan arah vektor. Keseluruhan konsep ini membentuk ruang vektor yang memiliki sifat-sifat tertentu dan memegang peranan penting dalam matematika.

Kita akan berbicara sekarang tentang vektor di ruang.

Jadi kita akan berbicara tentang objek yang berada di ruang berdimensi tiga.

Nah seperti juga pada koordinat kartesius yang hidup di ruang berdimensi dua

kita punya tiga sumbu sekarang seperti yang saya bilang tadi kita bisa bergerak maju mundur,

Dan ketiga kemungkinan tersebut direpresentasikan oleh sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z.

Dan seperti pada koordinat kartesius pada dua dimensi

maka pada tiga dimensi sekarang kita mengukur lokasi dari sebuah titik

itu berdasarkan jarak ke bidang-bidang yang berpotongan secara tegak lurus.

Jadi lokasi ini misalkan dia memiliki jarak terhadap bidang yang di belakang sana

bidang yang dibentuk oleh Y, O dan Z seperti itu bidang yang di belakang sini

jaraknya itu adalah A maka A ini adalah absis koordinat yang pertama.

Lalu jaraknya ke bidang X, O, Z itu adalah B koordinat yang kedua.

Sedangkan yang ketiga itu adalah jaraknya terhadap bidang yang ada di alas X, O, Z.

Nah meskipun ini adalah ilustrasi atau gambaran yang cukup baik seperti itu

namun ada sesuatu yang jauh lebih workable di dalam ruang berdimensi tiga

yaitu kalau kita memandang bukan lokasi saja tetapi kita memandang sebuah objek

yang pangkalnya di sini kemudian ujungnya berada pada lokasi tersebut.

Jadi objek yang kita gambarkan ini sekarang memiliki dua buah properti,

dua buah hal yang pertama memiliki panjang dan memiliki arahnya

Bagaimana cara melihat vektor? Jadi vektor yang ini itu tidak mengherankan

kalau lokasinya adalah A, B, dan C maka vektor ini adalah A, B, dan C.

Nah mengerti vektor itu jauh lebih mudah kalau kita lakukan dengan cara melihatnya

sebagai pergerakan atau motion. Jadi A, B, C itu sama dengan mengatakan

saya bergerak sepanjang sumbu X, A kemudian mengikuti arah sumbu Y sejauh B

kemudian mengikuti arah sumbu Z sejauh C maka saya akan tiba berada di sana.

Jadi vektor ini harus saya baca sebagai komponen bergerak ke kanan atau kiri,

A, sorry ke depan atau belakang, A, kanan atau kiri, B, atas atau bawah, C.

Nah tau dari mana kanan atau kirinya, depan atau belakangnya, atas atau bawahnya

tergantung dari tanda dari A, B, dan C ini.

Nah dengan melihat vektor sebagai pergerakan ini kita akan mempunyai

tafsiran geometris yang jauh lebih dalam dalam sebuah vektor.

Nah secara umum vektor tersebut U di ruang selalu dapat saya tuliskan

sebagai objek yang memiliki 3 komponen seperti ini dan V seperti ini, V1, V2, dan V3.

Dan kedua vektor ini dapat saya jumlahkan, penjumlahannya sederhana saja

seperti U1 ditambah V1, kemudian U2 ditambah V2, dan U3 ditambah V3.

Dan secara geometris penjumlahan antara 2 vektor itu adalah berjalan mulai dari titik 0,0

sejauh U, kemudian melanjutkannya sejauh V seperti itu.

Pertama kalau kita ingat bahwa vektor U itu adalah bergerak ke depan U,

kemudian ke kanan U2, kemudian ke atas U3, ini juga demikian,

V1 ke depan, V2 ke kanan, V3 ke atas, maka totalnya tidak lain adalah U1, V1 ke depan.

Jadi pengertian penjumlahan itu menjadi sangat-sangat geometris di dalam vektor seperti ini.

Dan sifat-sifatnya juga bagus, yaitu apa?

Bahwa kalau saya bergerak U, kemudian V itu tidak berbeda dengan kalau saya bergerak V dulu baru U.

Perjumlahan vektor ini bersifat komutatif.

Kemudian kalau saya mempunyai tiga buah vektor yang akan saya jumlahkan,

maka saya dapat menjumlahkan U dan V terlebih dahulu, kemudian menjumlahkannya dengan W.

Atau saya dapat menjumlahkan U dengan jumlah antara V dan W.

Jadi sifat ini berlaku, tidak penting yang mana duluan yang mau saya jumlahkan.

Selain itu saya juga punya ada sebuah vektor spesial, yaitu vektor 0.

Nah vektor ini mempunyai sifat bahwa kalau saya jumlahkan dia dengan vektor manapun,

Jadi vektor itu menyatakan titik ini juga,

tapi juga menyatakan kalau saya menjumlahkannya dengan siapapun dia tidak akan berubah.

Dan terhadap vektor 0 ini, setiap vektor U akan selalu mempunyai lawan yang dinamakan minus U.

Vektor yang kalau saya jumlahkan dengan U hasilnya adalah vektor 0.

Minus U ini tidak lain adalah vektor yang sama persis dengan U panjangnya,

Sehingga kalau kita jumlahkan, resultanya akan menjadi seperti 0.

Jadi kurang lebih vektor ini dapat dengan mudah dibayangkan sebagai sebuah gaya.

Sekarang kalau U dengan minus U itu ada sebuah gaya yang menarik masa ke arah sana.

Kemudian minus U tidak lain adalah menariknya daripada arah yang berkebalikan.

Jadi ketika hasilnya adalah 0 berarti kurang lebih dia akan tetap berada di tempat yang sama.

Itu adalah vektor kebalikan atau minus U.

Nah dari vektor kebalikan ini minus U, minus U ini tidak lain adalah minus U1, minus U2, minus U3.

Tidak lain sama dengan minus 1 dikali dengan U.

Dan dari sini kita dapat melihat ada operasi lain di dalam ruang ini, di dalam vektor ini.

Yaitu operasi perkalian antara sebuah bilangan dengan sebuah vektor.

Jadi kalau lambda adalah bilangan dan U adalah vektor,

maka saya dapat mengalihkan lambda dengan vektor U yang tidak lain adalah lambda U1, lambda U2, lambda U3 seperti itu.

Nah vektor ini mempunyai sebuah nama yang khusus biasanya kita sebutkan sebagai kelipatan dari U.

Kalau lambdanya itu positif dan lebih besar dari 1 maka ini akan membuat panjang U bertambah.

Jadi seperti vektor U di tarik, diregang lambda kali.

Kalau lambdanya di antara 0 dan 1 maka dia akan seperti dimampatkan, di kontraksi supaya panjangnya menjadi lebih kecil.

Kalau lambdanya negatif dia akan berbalik arah.

Nah ini adalah pengertian dari kelipatan dari sebuah vektor.

Nah kalau sifat-sifat ini semua dikumpulkan maka ruang himpunan yang isinya adalah vektor-vektor ini

yang kemudian dimemenuhi sifat-sifat ini, ada sembilan totalnya saya hanya list beberapa di sini,

maka itulah yang disebut dengan ruang vektor.

Dan ruang vektor ini merupakan salah satu objek yang sangat-sangat memainkan peran yang sangat penting di dalam matematika.