Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas vektor khusus di R3 dan cross product. Vektor spesial I, J, dan K digunakan sebagai basis untuk R3. Cross product antara vektor-vektor I, J, dan K memiliki aturan tertentu, seperti I cross J = K. Proses cross product antara dua vektor u dan v dilakukan berdasarkan aturan yang telah ditetapkan, menghasilkan u cross v = (u2v3 - u3v2) i + (u3v1 - u1v3) j + (u1v2 - u2v1) k. Metode determinan matriks digunakan untuk menghitung cross product dengan lebih sederhana.

Sekarang kita akan menggali lebih banyak lagi struktur dari ruang vektor ya.

Nah ingat ketika kita punya sebuah vektor U dia adalah objek seperti ini yang terdiri dari 3 komponen U1, U2, dan U3.

Perhatikan bahwa ketiga komponen ini dapat saya tulis menjadi U1 dikali 1 0 0 sebuah vektor yang spesial.

U2 0 1 0 vektor spesial lagi dan U3 seperti ini.

Nah vektor-vektor spesial ini kemudian saya beri nama U1 adalah I plus U2 dikali dengan J ditambah U3 dikali dengan K.

I, J, K di sini adalah vektor-vektor satuan yang isinya adalah 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1 seperti itu.

Yang menarik di sini adalah kalau saya menjumlahkan dua buah vektor U tambah V seperti ini

maka pada dasarnya dia adalah U1 tambah V1, U2 tambah V2, U3 tambah V3.

Nah kalau kita kembalikan ke sini maka dia adalah U1 tambah V1, I ditambah dengan U2 ditambah V2, J ditambah dengan U3 plus V3, J.

Jadi dengan kata lain pada saat saya menjumlahkan dua buah vektor saya cukup menjumlahkan komponen-komponen

pada yang merupakan koefisien dari vektor-vektor satuan seperti ini.

Nah dengan kata lain ketika kita bekerja dengan vektor-vektor satuan ini,

ketika kita membuat aturan pada yang mengatur vektor-vektor satuan ini

pada dasarnya kita bisa mendapatkan atau merekonstruksi ulang semua operasi-operasi yang kita punya sebelumnya seperti itu.

Nah vektor I, J, dan K ini mempunyai nama yang khusus yaitu basis untuk R3.

Nah perhatikan bahwa saya untuk R3 kita tadi sudah menyebutkan bahwa R3 atau ruang itu adalah sesuatu yang berdimensi tiga

dan jadi saya bisa bergerak maju-mundur, depan-belakan, kiri-kanan, atau atas-bawah seperti itu.

Dan menarik sekali bahwa basis yang kita punya juga hanya tiga buah seperti itu

dan memang ya ada kaitan yang sangat besar antara basis dengan dimensi

dan secara umum kita bisa katakan bahwa banyaknya vektor di dalam basis itu sama dengan dimensi dari ruang tersebut.

Namun kita tidak akan menggali terlalu jauh di sana, lebih ke sana,

tapi saya hanya akan memperkenalkan bahwa kita mempunyai sebuah vektor spesial yaitu I, J, dan K seperti itu ya.

Jadi saya punya vektor-vektor spesial yang I, J, dan K.

Ini adalah vektor-vektor satuan khusus, vektor-vektor khusus di R3 seperti itu.

Nah sekarang saya membuat sebuah aturan perkalian baru.

Dan seperti yang saya katakan tadi ketika saya membuat aturan untuk vektor-vektor khusus ini

maka saya bisa mendapatkan aturan untuk seluruh vektor yang ada di R3.

Pertama operasinya dulu, operasinya saya beri nama cross, cross product.

Dan saya buat aturan bahwa I kalau saya cross dengan I hasilnya harus sama dengan J cross J,

harus sama dengan K cross K, harus sama dengan 0.

Aturan yang kedua saya buat bahwa I kalau saya cross dengan J hasilnya harus sama dengan vektor K.

I kalau saya cross dengan J hasilnya harus sama dengan K.

Kemudian J kalau saya cross dengan K hasilnya harus sama dengan I.

Dan K kalau saya cross dengan I hasilnya harus sama dengan J.

K kalau saya cross dengan I hasilnya harus sama dengan J.

Perhatikan I, J, K ini seperti urutannya tidak boleh berubah.

Jadi i, j hasilnya harus k, j, k hasilnya harus i, k, i hasilnya harus j.

Nah sekarang saya membuat aturan bagaimana kalau perkaliannya terbalik.

Jadi saya mau j cross i, oh ini saya definisikan sebagai minus k.

Jadi kalau aturannya, kalau urutannya terbalik maka muncul tanda minus di situ.

Ini aturan yang saya buat, k cross j sama dengan minus i dan i cross k sama dengan minus j.

Nah ini adalah aturan perkalian yang saya buat secara khusus untuk vektor-vektor i, j, k ini.

Sekarang saya punya dua buah vektor u yang isinya adalah u1 i plus u2 j plus u3 k.

Kemudian saya punya vektor v yang isinya adalah v1 i plus v2 j plus v3 k.

Dan saya mau menghitung u cross v, siapa dia?

Seperti yang saya bilang tadi, bekerjalah menurut basis-basisnya.

Jadi saya tahu ini adalah u1 i plus u2 j plus u3 k.

Kemudian saya crosskan dengan cross product dengan v1 i plus v2 j plus v3 k.

Berdasarkan aturan ini, jadi saya tidak punya suku u1 v1, nggak punya.

Oke, u2 j cross j harus nol, lagi-lagi saya tidak punya u2 v2.

Dan ini kali ini harus nol juga, jadi tidak ada u3 v3.

Baik, ini cross dengan ini, berarti saya punya u1 v2.

Oke, kemudian ini cross dengan ini, saya punya apa?

U1 v3, i cross k, menurut aturannya minus j, beres yang u1.

Sekarang yang u2, u2 cross ini, berarti saya punya u2 v1.

I cross, oh sorry, u2 v1, berarti j cross i, j cross i itu ada di sini, minus k.

Dan kemudian saya punya ini di cross dengan ini, berarti saya punya u2 v3.

Dan saya punya j cross k, j cross k itu ada di sini, i plus tandanya.

Dan terakhir, saya bekerja dengan ini, saya punya u3 v1, seperti itu.

Dan u3 v1 itu adalah k cross i, k cross i itu j.

Kemudian dikurangi dengan u3 v2, yang k cross j, k cross j minus i, seperti itu.

Nah, kalau saya sederhanakan, saya kumpulkan yang i, mana yang i?

Yang plus yang ini, berarti saya punya komponen u2 v3 minus u3 v2 i, kemudian yang j.

Yang j itu yang ini, tapi ini minusnya, berarti cari yang j yang a ini, dua-duanya minus.

U3 v2, j, j ini, u3 v1, u3 v1 kemudian minus u1 v3, j dan yang k, yang k itu ini, u1 v2 minus k, k, k, u2 v1, k, seperti itu.

Jadi saya punya sekarang sebuah definisi untuk perkalian yang berbeda, u cross v.

Dan saya ingin perlihatkan sekarang bahwa definisinya seperti ini, ini bisa saya tulis sekarang menjadi u cross v.

Didefinisikan seperti ini, ini definisinya ya, perkalian seperti ini.

Nah, tentu menghitung perkalian dengan cara seperti ini sangat konyol dan sangat sulit.

Oleh karena itu, mari kita lihat u, siapa u?

Dia adalah u1, u2 dan u3, di cross dengan v1, v2, v3.

Dan menurut perhitungan kita, hasilnya harusnya adalah u2 v3 kurang u3 v2, dan ini hasilnya adalah u3 v1 kurang u1 v3.

Sedikit modifikasi, saya mengubah ini menjadi minusnya.

Jadi anda lihat sekarang bahwa ini tidak lain adalah perkalian antara sedua-duanya.

Tandanya dulu, plus, min, plus, seperti itu ya.

Untuk mendapatkan komponen pertama, komponen pertama ini tidak lain adalah determinan dari matriks ini, u2 v3, v2 u3.

Dan untuk mendapatkan ini, dia adalah determinan dari ini dan ini, tapi ada tanda minusnya.

Dan komponen ketiga adalah determinan dari matriks seperti ini.

Dan ini adalah cara yang lebih sederhana untuk kita menghitung cross product.