Name: Turunan Tingkat Tinggi
Uploaded: 2022-09-07

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep turunan tingkat tinggi dalam kalkulus. Operator DDX digunakan untuk mengaitkan fungsi F dengan turunannya, DFDX. Turunan kedua, D2FDX2, merupakan turunan tingkat tinggi yang dapat dihitung dengan mengkomposisikan operator DDX. Aplikasi praktisnya adalah dalam menghitung kecepatan dan percepatan partikel. Konsep antiturunan juga dibahas, di mana antiturunan dari suatu fungsi dapat menghasilkan beberapa fungsi tergantung pada konstanta C. Predictability atau deterministic muncul saat kita dapat memprediksi posisi suatu partikel pada waktu tertentu dengan informasi awal yang diberikan.

Jika kita memiliki sebuah fungsi F yang dapat diturunkan atau memiliki turunan

maka kita dapat mengaitkan sebuah operator yang dilambangkan dengan DDX.

Kurang lebih DDX ini adalah sebuah operator yang tidak berbeda jauh dengan aksen

hanya Isaac Newton menggunakan notasi aksen sebagai turunan

sedangkan DDX lebih banyak digunakan di Jerman oleh Gottfried Leibniz pada jaman itu.

DDX ini berbicara tentang operator yang lebih bagus

jadi dia mempunyai struktur yang lebih cantik, yang lebih enak terlihat

jadi dia mengaitkan antara ruang fungsi F ke ruang fungsi F lainnya.

Ruang fungsi F ini jangan dipusingkan ini kurang lebih kira-kira adalah sebuah

himpunan yang berisi fungsi-fungsi dan kali ini fungsi-fungsi yang termuat di dalamnya

Jadi F ini kemudian oleh operator DDX ini dipetakan menjadi fungsi yang bernama DFDX

atau kalau menurut notasi Newton dia adalah F aksen X.

Jadi hasilnya sekarang adalah sebuah fungsi baru

dan kalau fungsi baru ini ternyata masih ada di dalam fungsi yang ini

saya harus tulis aksen di sini karena ada berbeda

kalau dia masih ternyata masih bisa punya turunan lagi

maka kita dapat melakukan mengkomposisikan operator ini dengan dirinya sendiri

dan ini adalah D2FDX2 apa yang kita kenal sebagai turunan kedua.

Aplikasi yang langsung muncul dari sini adalah jika S itu menyatakan posisi dari sebuah partikel

ini menyatakan sebuah apa yang dikenal dengan nama VT

atau kecepatan velocity kecepatan partikel tersebut

untuk mendapatkan apa yang dikenal dengan AT

Nah percepatan ini kurang lebih adalah perubahan kecepatan terhadap waktu

jadi kecepatan adalah perubahan posisi terhadap waktu

kemudian percepatan adalah perubahan kecepatan terhadap waktu

tapi turunan tingkat ke N pun dapat kita lakukan

tanpa selama fungsinya masih dapat kita turunkan

jadi proses ini dapat kita lanjutkan berkali-kali

nah kalau dengan menggunakan notasi Newton

maka dia bisa kita tulis sebagai X aksen T

sedangkan ini bisa kita tulis X double aksen T

nah proses dari sini ke sini itu menerapkan operator DDT

proses dari sini ke sini menerapkan operator DDT

kita bisa juga melakukan yang kebalikannya

saya lambangkan dengan huruf A seperti ini antiturunan

jadi kita bisa mencari proses antiturunan menghitung ke atas

dan itu yang kita namakan dengan antiturunan

kurang lebih adalah sebuah operator dari F ke F seperti itu

yang memotakan F pada sebuah fungsi yang saya tulis G sama dengan AF seperti itu

jadi kita bisa langsung menghitung misalkan antiturunan dari X kuadrat adalah apa?

kita tau bahwa antiturunan dari X kuadrat adalah X pangkat 3

nah disini gak ada 3 berarti kita harus kali dengan 1 per 3 seperti itu

tapi belukan hanya ini saja sebab kita tau turunan dari semua konstanta itu 0

jadi kalau saya tambahkan dengan 0 disini juga bisa

jadi disini satu hal yang berbeda sekali dengan turunan

kalau saya punya sebuah fungsi F yang saya hitung turunannya

maka yang didapatkan adalah tepat satu buah fungsi

tetapi kalau antiturunan yang kita dapatkan adalah beberapa buah fungsi

yang tergantung dari berapa C nya seperti itu

nah khususnya untuk aplikasi ini kita ingat bahwa AT adalah percepatan

maka kita bisa bilang kalau kita misalkan punya sebuah partikel

yang bergerak dengan percepatan konstan yaitu sebesar G

maka dari sini dari informasi ini karena saya tau bahwa D2S DT2 adalah G

siapa DSDT dia adalah antiturunan dari D2S DT2

nah disini kemudian kita perlu data C nya siapa disini

ini C nya yang kemudian biasanya ditulis sebagai Venol atau kecepatan awal

dan kita bisa menghitung lagi antiturunan dari sini

dan ini yang kemudian kita kenal sebagai ST

yaitu sama dengan 1 per 2 GT kuadrat plus Venol T plus S0

dan kita kenali ini sebagai sebuah gerak lurus yang berubah beraturan

dengan kecepatan awal Venol dan S0 seperti ini

nah sedikit berbicara tentang tafsiran fisis dari ini adalah apa

dari data ini bahwa percepatannya adalah konstan

kita dapat menghitung berapa kecepatannya

dan dari kecepatannya kita dapat menghitung posisinya

kita dapat mengatakan pada saat berapapun pada T berapapun kita dapat menghitung berapa S nya

ingat kita punya apa yang disebut dengan hukum Newton

hukum Newton mengatakan bahwa besarnya gaya percepatan dari sebuah sistem

itu selalu berbanding lurus pada dengan gayanya

jadi kalau saya punya A atau M kali A sama dengan F

kalau F nya konstan maka saya punya A sama dengan 1 per M kali F

dan dengan begitu saya bisa menghitung posisinya

dengan demikian kalau saya diberikan kecepatan awalnya berapa