Name: Turunan Fungsi Komposisi dan Turunan Implisit
Uploaded: 2022-09-07

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep turunan fungsi komposisi dan turunan implisit. Untuk menghitung turunan dari fungsi komposisi, kita dapat menggunakan definisi limit dari F komposisi G, X plus delta X dikurangi dengan F dari G, X dibagi dengan delta X. Dengan menggunakan turunan fungsi komposisi, kita dapat menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang bermacam-macam dengan mudah. Selain itu, konsep ini juga dapat diterapkan pada persoalan seperti menghitung gradien garis singgung pada lingkaran dengan persamaan X kuadrat ditambah Y kuadrat sama dengan R kuadrat, yang dikenal dengan turunan fungsi implisit.

Bagaimana cara kita menghitung turunan dari fungsi komposisi?

Misalkan kita punya F dan G adalah dua fungsi yang differentiable.

Untuk mudahnya kita anggap mereka differentiable di mana-mana.

Jadi enggak pusing kita untuk mengurusi di mana dia harus differentiablenya.

Dan kita bisa menghitung sekarang F komposisi G, X dan mau kita hitung turunannya.

Ini tidak lain adalah F dari G, X dan semuanya kita mau hitung aksennya.

Berdasarkan definisi ini juga adalah limit dari delta X menuju ke 0

dari F G, X plus delta X dikurangi dengan F dari G, X dibagi dengan delta X.

Saya hitung limit delta X menuju ke 0 dari, oke ini adalah F dari G, X plus delta X

Saya bisa lakukan sekarang saya bagi bukan dengan delta X

tetapi dengan G dari X plus delta X dikurangi G, X.

Tentu ini mengganti soal jadi saya harus kalikan dengan barang yang sama.

Saya kalikan dengan G, X plus delta X dikurangi dengan G, X dibagi dengan delta X.

Nah sekarang kita perhatikan ini kalau delta X menuju ke 0 maka ini menuju ke sini.

Jadi ini seperti bisa kita artikan sebagai delta G.

Maka ini tidak lain adalah G di delta X kurangi dengan G.

Jadi ini tidak lain adalah turunan dari F dievaluasi di G, X.

Nah inilah fungsi komposisi, turunan fungsi komposisi.

Jadi kalau kita punya fungsi seperti misalkan F, X adalah berapa misalkan?

Maka kita dapat hitung turunannya dengan mudah yaitu turunan dari sinus itu cos kalau nggak salah.

Cos sinus X kuadrat tambah satu lalu dikali dengan turunan di dalamnya 2X seperti itu.

Dan kita dapat lakukan permainan ini untuk fungsi-fungsi yang bermacam-macam.

Untuk menghitung turunan dari fungsi komposisi seperti itu.

Namun yang lebih jauh lagi kita juga dapat menerapkan ini pada persoalan seperti ini.

Misalkan sekarang saya punya sebuah lingkaran dengan jari-jari tertentu dan kita tahu jari-jarinya R seperti itu.

Dan kita tahu bahwa persamaan ini persamaan lingkaran ini mempunyai persamaan X kuadrat ditambah Y kuadrat sama dengan R kuadrat.

Nah kita mau tahu sekarang berapa gradien garis singgung di titik X0, Y0 yang memenuhi persamaan lingkaran ini.

Tentu caranya adalah kita bisa menuliskan penggal yang atas ini dalam Y sebagai fungsi dalam X seperti itu.

Jadi saya akan perlihatkan dulu yang pertama itu ya.

Jadi kita bisa coba menuliskan karena ini penggal yang positif saya bisa mencoba menuliskan Y sama dengan R kuadrat kurang X kuadrat diakarkan.

Nah kemudian kita bisa turunkan ini sama dengan apa menggunakan fungsi implicit ini.

Seperti itu kemudian kita substitusi X0 dan Y0 nya bisa satu cara dengan cara seperti itu.

Tapi kita bisa juga langsung melihat seperti ini dengan mengingat bahwa Y nya adalah fungsi dalam X.

Maka saya dapat menurunkan ini sebagai fungsi komposisi jadi ini disakanakan Y VX atau YX kuadrat komposisi.

Jadi kita bisa turunkan dia terhadap X kita punya 2X plus ini kita turunkan terhadap X 2Y dikali dengan turunan Y terhadap X DY DX sama dengan 0.

Dan dari sini kita bisa dapatkan bahwa DY DX harusnya adalah minus X per Y dievaluasi di titik X0 sama Y0 saya dapatkan seperti ini.

Dan inilah yang dikenal dengan nama turunan fungsi implicit.