Name: Limit Bentuk 0/0 dan Hubungannya dengan Kecepatan
Uploaded: 2022-09-06

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas limit fungsi dengan bentuk 0 per 0 dan hubungannya dengan kecepatan. Fungsi yang dibahas adalah x kuadrat kurangi 1 dibagi dengan x min 1 yang memiliki limit sama dengan 2. Dalam konteks ini, fungsi f dan g dilihat sebagai pembilang dan penyebut yang mendekati 0 dengan kecepatan yang kurang lebih sama. Ketika satu fungsi mendekati 0 lebih cepat dari fungsi lain, nilai limitnya akan menjadi konstanta yang tidak sama dengan 0. Konsep ini penting untuk memahami perilaku dan kecepatan konvergensi fungsi menuju suatu bilangan tertentu, terutama dalam analisis asimptotik.

Pada bagian ini kita akan memperhatikan kembali fungsi yang limitnya mempunyai bentuk 0 per 0

dan fungsi ini bukan fungsi baru, fungsi ini telah muncul berkali-kali dalam perkuliahan ini

yaitu fungsi yang limit yang berbentuk seperti ini x kuadrat kurangi 1 dibagi dengan x min 1

dan kita udah tahu bahwa ini limitnya sama dengan 2.

Kali ini kita tidak akan melihat dia sebagai sebuah satu kesatuan fungsi

namun kita akan melihat dia sebagai fungsi yang berada di pembilang yang saya beri nama f

dan kemudian yang dibawah penyebut yang saya beri nama g

dan grafik dari kedua buah fungsi itu seperti ini.

Perhatikan bahwa jika x menuju 1 maka baik fungsi f maupun fungsi g itu menuju ke 0

Jadi mempunyai bentuk 0 per 0 tapi limitnya sama dengan 2.

Nah kalau kita perhatikan bentuk ini cukup menarik bahwa

seakan-akan meskipun kedua fungsi ini menuju ke 0

tetapi kita dapat lihat bahwa mereka mendekati 0 dengan cara yang kurang lebih sama

hanya berbeda kecepatannya tapi tidak secara signifikan berbeda

menuju ke 0 sama-sama seperti itu ini dengan cara seperti ini

mendekatinya kurang lebih tetap secara linear

dan itu sebabnya kita lihat disini limitnya sama dengan 2.

Nah untuk mencoba menggambarkan kondisi ini secara lebih dramatis

saya mau ajak kita sama-sama sekarang memperhatikan 3 buah fungsi

yaitu fx yang sama dengan x kemudian gx yang sama dengan x2 dan hx yang sama dengan akar x.

Ini adalah fungsi-fungsi yang berbeda tapi ketiga fungsi ini tiga-tiganya melewati atau menuju ke 0

Fungsi f itu adalah berbentuk garis lurus seperti ini

ini f kemudian fungsi g adalah fungsi yang berbentuk kuadratik seperti ini

ini fungsi g dan fungsi h juga seperti kuadratik tapi terhadap y seperti ini akar x ini fungsi h.

Nah kalau kita hitung limitnya untuk x menuju 0 dari arah kanan supaya limitnya semua ada

maka kita bisa lihat bahwa limit x menuju 0 dari kanan dari f per g

dia adalah limit x menuju 0 dari kanan dari f itu adalah x per g x2

jadi sama dengan 1 per x dengan demikian limitnya menuju ke tahinga.

Perhatikan bahwa baik f maupun g kedua-duanya itu menuju ke 0

tapi x2 atau g itu menuju ke 0 dengan cukup cepat.

Coba perhatikan kalau saya mengambil satu buah x disini maka nilai f itu ini

Saya lihat ya bahwa g mendekati 0 sama tapi untuk x yang sama mereka g jauh lebih cepat daripada f

dan waktu x mendekat ke sini tetap kita lihat bahwa nilai dari f masih di atas sini

Jadi kita bisa lihat bahwa kalau ini seperti perlombaan racing

maka waktu x mendekati 0 g akan menuju ke 0 jauh lebih cepat daripada x disana.

Dan sebagai akibatnya coba lihat disini ketika f menuju ke 0 dan g menuju ke 0

tetapi g lebih cepat daripada f seakan-akan seperti g nya sudah sangat kecil sementara f nya belum.

Sebagai akibat sesuatu yang belum 0 dibagi dengan sesuatu yang dekat sekali ke 0

hasilnya akan besar sekali menuju ke tahinga.

Jadi kita bisa membaca limit f per g yang kedua-duanya menuju ke 0

akan sama dengan tahinga jika kecepatan dari g itu jauh lebih cepat daripada f menuju ke 0.

Sebaliknya kalau kita lihat limit x menuju 0 dari f per h

dan disini kita akan dapat limit x menuju 0 dari x per akar x

dan limit ini perbagian ini adalah akar x jadi limitnya akan menuju ke 0.

Jadi dan itu kita dapat lihat dari grafik ini bahwa pada saat f nya di bawah sini

h masih di atas sini ya meski jadi kalau dia menuju ke 0 dia akan turunnya ke sini tuh.

Jadi dari sini kita bisa menyimpulkan sesuatu hal ketika kita mempunyai sebuah limit

kita mempunyai sebuah limit x menuju a dari fx dibagi dengan gx

kalau limit x menuju a dari f itu 0 limit x menuju a dari g itu 0

jadi ini bentuk 0 per 0 nilai limit ini akan jadi tahinga

kalau g lebih cepat daripada f menuju ke 0 nya.

Akan bernilai konstanta yang tidak sama dengan 0

kalau keduanya seperti berimbang seperti contoh yang pertama tadi yang saya perlihatkan.

Sedangkan kalau f jauh lebih cepat daripada g maka nilainya akan 0

dan pengertian ini sangat penting untuk kita bisa membandingkan perilaku

atau kecepatan konvergensi dari suatu fungsi menuju ke suatu bilangan tertentu.

Konsep ini akan sangat berguna ketika kita melakukan satu topik di dalam matematika

yang dikenal dengan nama analisis asimptotik.