Name: Integral x^2
Uploaded: 2022-10-12

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas perumuman untuk menghitung integral dari x^2 dengan menggunakan limit jumlah Riemann. Dengan mengganti batas integral dan melakukan manipulasi matematika, ditemukan hasil integral x^3 per 3. Konsep ini menunjukkan hubungan yang erat antara limit jumlah Riemann dan turunan fungsi, membuka peluang untuk generalisasi konsep yang lebih baik.

Kita dapat memperumum contoh-contoh ini untuk kemudian menghitung X pangkat 3, X pangkat 4, X pangkat 5 dan seterusnya.

Dan tentunya untuk menghitung X pangkat 3 saya harus punya sigma K pangkat 3 berapa.

Dan sigma K pangkat 3 dapat dihitung dengan menggunakan collapsing sum yang tadi.

Jadi saya menghitung sekarang sigma dari K pangkat 4 dikurangi K min 1 pangkat 4.

Dan dengan manipulasi yang panjang dan melelahkan saya akan dapatkan sigma untuk K pangkat 3.

Nah saya percaya Anda bisa melakukan hal itu.

Tapi mari kita sedikit perumum cerita kita.

Karena ketika kita perumum ini kita melihat sebuah kaitan yang bagus sekali antara limit jumlah Riemann ini dengan kalkulus yang sudah kita kenal.

Jadi untuk kali ini saya memandang grafik fungsi saya tidak di dalam koordinat Y dan X tetapi di dalam koordinat Y dan T.

Jadi fungsinya saya ganti menjadi Y sama dengan T kuadra.

Fungsi yang sama, grafik yang sama, tentu luasnya yang sama.

Nah bukannya batasnya adalah 2, 5 atau berapa yang kita kendaki di sini.

Tapi batas integralnya sekarang saya ganti dengan X di sini.

Jadi saya menghitung integral dari 0 sampai X dari T kuadrat dt.

Dan untuk menghitung ini tentunya saya harus membuat data untuk yang bisa saya masukkan ke dalam limit jumlah Riemann saya.

Delta T nya tentu adalah panjang interval besarnya X dibagi dengan banyaknya partisi yang mau saya pakai N.

Dan seperti tadi TK nya di sini adalah 0 ditambah K kali ini.

Jadi saya dapatkan data ini dan data ini saya masukkan ke dalam formula saya untuk jumlahan Riemann.

Di sini saya lakukan limit N menuju tahinga dari jumlahan dari 1 sampai N.

Maka ini saya akan dapatkan X kuadrat per N kuadrat dikali X per N.

Saya akan dapatkan di sini X pangkat 3 dibagi dengan N pangkat 3.

Dikali dengan sigma K kuadrat seperti itu.

Dan lagi-lagi X pangkat 3 dan N pangkat 3 ini tidak ada kaitannya dengan K.

Sehingga saya bisa ganti dia menjadi limit N menuju tahinga dari X per N masing-masing pangkat 3.

Dikali dengan sigma dari 1 sampai N dari K kuadrat.

Nah dengan mengingat bahwa kita punya formula ini saya dapat mengganti formula ini dengan benda itu.

Sehingga saya dapatkan di sini limit N menuju tahinga dari X pangkat 3 per N pangkat 3.

Saya ganti sigma K kuadrat dengan N per 6.

Pertama N ini saya coret tinggal N kuadrat.

Ini kalau N yang menuju tahinga ini akan menuju ke 1.

Jadi saya akan dapatkan hasil ini adalah 1 per 3 X pangkat 3.

Jadi kalau saya terapkan limit jumlah Riemann ini untuk fungsi Y sama dengan T kuadrat

yang kalau dalam variable X adalah X kuadrat maka hasilnya adalah 1 per 3 X pangkat 3.

Yang kita tahu bahwa kalau fungsi ini kita turunkan hasilnya adalah X kuadrat.

Jadi dalam hal ini kita lihat ada kaitan yang sangat mesra antara limit jumlah Riemann ini dengan turunan fungsi.

Dan sebentar lagi kita akan lihat jangan-jangan kaitan ini dapat kita perumum dan kita tulis dengan bentuk yang lebih baik.