Name: Teorema Titik Kritis
Uploaded: 2022-09-09

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas teorema titik kritis dalam aplikasi turunan pada mata kuliah Kalkulus 1. Teorema ini menyatakan bahwa nilai maksimum dan minimum dari fungsi f dicapai pada titik kritisnya, yaitu titik ujung selang, titik singgular, atau titik stasioner. Dengan memeriksa ketiga titik tersebut, kita dapat menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi. Jika F dapat diturunkan di interval A, B, maka tidak memiliki titik singular. Jika F mencapai maksimum atau minimum pada titik X sama dengan C, maka turunan F di C harus sama dengan 0, menandakan titik stasioner.

Teorema yang tidak kalah pentingnya bahkan mungkin lebih penting dari teorema yang tadi adalah

apa yang kita kenal dengan nama teorema titik kritis.

Jadi pada teorema titik kritis kita mengasumsikan f itu adalah fungsi kontinu di i

Jadi dari teorema yang tadi kita tahu bahwa kalau begitu nilai maksimum dan nilai minimumnya pasti ada.

Pasti dia ada makanya f mencapai maksimum atau minimum.

Dan di mana dicapai maksimum dan minimumnya?

Ternyata teorema ini mengatakan bahwa nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi f

Nah ada tiga kemungkinan untuk titik kritis.

Yang pertama adalah titik ujung selang, yang kedua adalah titik singgular,

Jadi secara praktisnya kita hanya cukup memeriksa ketiga titik ini.

Kalau ketiga titik ini ada, maka kita sudah bisa menyelesaikan mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi ini.

Kita lihat yang titik stasioner, mengapa seperti itu.

Perhatikan ya, waktu saya mengasumsikan ini intervalnya adalah interval tutup,

tapi ketika saya mengatakan turunan, maka intervalnya menjadi interval buka.

Di titik ujungnya tidak, mengapa seperti itu.

Jangan lupa bahwa turunan itu adalah limit, dan limit itu didefinisikan pada sebuah interval buka.

Kita perlu nilai di sekitarnya, jadi tidak bisa bicara di ujung-ujung ini.

Jadi misalkan F dapat diturunkan seperti ini,

kalau F dapat diturunkan di dalam interval A, B, maka dia pasti tidak memiliki titik singular.

Sebab titik singular itu adalah titik di mana turunannya tidak terdefinisi.

Jadi dia pasti tidak punya titik singular, kita punya seperti ini.

Dan misalkan F mencapai yang minimum, nanti gampang sama saja.

F mencapai maksimum di X sama dengan C, dan tentunya harus berada di dalam interval A, B.

Jadi dia berada di dalam, di sekitar situ.

Nah apa artinya F mencapai maksimum di X sama dengan C?

Artinya di sini bahwa F X itu selalu lebih kecil sama dengan F C.

Secara khusus di sekitar C ini harus berlaku.

Nah kita lihat dulu sekarang misalkan X lebih kecil dari C.

Nah kalau X lebih kecil, karena ini berlaku untuk setiap X,

dan X lebih kecil dari, maka berlaku untuk X lebih kecil dari C.

Jadi untuk X lebih kecil dari C ini juga tetap benar.

Jadi F X juga benar seperti ini, tapi saya tulis dengan cara lain.

F X dikurangi, sorry ini ada salah karena mencapai, oh benar ya.

Oke ya seperti itu, karena ini jadi pindah ke sini, efek lebih kecil dari 0.

Tapi ini pun dapat saya tulis dengan cara yang berbeda,

yaitu X kurang C itu lebih kecil dari 0, seperti itu.

Akibatnya kalau saya menghitung F X dikurangi dengan F C, dibagi X kurang C.

Nah ini perhatikan nih, saya punya sesuatu yang lebih kecil sama dengan 0.

Dan saya punya sesuatu yang juga lebih kecil dari 0.

Jadi negatif dibagi negatif, maka hasilnya pasti lebih besar dari 0, seperti itu.

Nah kemudian kalau kita pandang X yang lebih besar dari C,

Kalau untuk X yang lebih besar dari C masih tetap berlaku bahwa F X itu lebih kecil sama dengan F C.

Kalau dia nilai maksimum berarti F X lebih kecil sama dengan F C.

Nah jadi saya dapatkan di sini bahwa F X kurangi F C,

ini akan tetap lebih kecil sama dengan 0.

Karena dia F C nya lebih besar, dia yang maksimum gitu.

Kemudian kita tahu bahwa X lebih besar dari C, berarti X kurang C akan positif.

Sekarang ini negatif dibagi dengan sesuatu yang positif.

Jadi negatif hasilnya adalah lebih kecil dari 0.

berarti ini kan menuju C nya dari kiri sebab ini benar untuk X yang lebih kecil dari C.

Sedang di sini itu adalah limit X menuju C dari kanan.

Nah perhatikan bahwa limit X menuju C dari kiri itu lebih besar sama dengan 0.

Dan limit X menuju C dari kanan itu lebih kecil sama dengan 0.

Tapi karena fungsinya dapat diturunkan berarti turunannya harus ada.

Kalau limit ini harus ada kata dia limitnya harus lebih besar sama dengan 0,

kata dia limitnya harus lebih kecil sama dengan 0.

Jadi mau tidak mau limitnya ini harus sama dengan 0.

Karena menurut ini lebih besar sama dengan 0,

Jadi mau gak mau F aksen C nya harus sama dengan 0.

Jadi kalau misalkan F itu mencapai maksimum atau minimum pada titik X sama dengan C,

dan dia bukan titik ujung selang ataupun dia bukan titik singgular,

maka dia harus merupakan titik stasioner.