Name: Fungsi Trigonometri dari Perspektif Lingkaran
Uploaded: 2022-09-03

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas fungsi trigonometri dari perspektif lingkaran. Konsep dasar fungsi trigonometri didefinisikan pada segitiga siku-siku dengan sinus, cosinus, dan tangen sebagai perbandingan sisi-sisi segitiga. Dalam kalkulus, perlu dilakukan transformasi fungsi dari derajat ke bilangan real untuk menghitung komposisi fungsi trigonometri. Dengan menggunakan lingkaran berjari-jari satu, sudut diukur dengan panjang busur, bukan derajat, untuk mempermudah perhitungan. Sehingga, P dalam radian setara dengan 180 derajat, yang merupakan konsep yang dikenal di SMA.

Fungsi trigonometri memang sudah dikenal sejak lama.

Pada awalnya fungsi trigonometri ini didefinisikan pada sebuah segitiga siku-siku.

Saya gambarkan sebuah segitiga siku-siku disini dengan sisi yang mendatar A

Kemudian saya beri sudut disini teta dan pada awalnya teta ini adalah sudut yang diukur

dalam satuan derajat, dalam unit derajat.

Dan sinus teta adalah perbandingan antara sisi di hadapan sudut

dibagi dengan sisi miring dari segitiga siku-siku.

Dan cosinus teta adalah perbandingan antara sisi yang mengapit sudut dengan sisi miring

serta tangan teta adalah perbandingan antara sinus dan cosinus.

Pendekatan ini walaupun sangat-sangat powerful dan sangat-sangat berguna dalam aplikasi

Karena di kalkulus kita akan melakukan operasi pada fungsi

dan salah satu operasi pada fungsi adalah komposisi.

Jadi ketika mengakukan komposisi saya akan menghitung berapa sinus dari cosinus 30 derajat.

Dan ini akan memberikan masalah kepada kita.

Mengapa? Karena cosinus 30 derajat itu adalah sebuah bilangan real.

Dan itu menyebabkan bahwa komposisi ini tidak dapat dihitung

karena hasil dari cosinus itu merupakan bilangan real.

Itu sebabnya pengukuran sudut dengan menggunakan derajat itu kita tinggalkan

untuk keperluan kalkulus karena kita mau menghitung komposisi.

Kita perlu mentransformasi fungsi yang tadinya didefinisikan untuk dalam satuan derajat

sekarang untuk berubah menjadi fungsi dalam real ke real.

Bagaimana caranya? Caranya adalah dengan mengambil segitiga ini

kita tahu bahwa segitiga siku-siku yang perbandingan sisinya tetap sama kita jaga

itu bisa tetap sebangun sehingga sudut tidak akan berubah.

Dengan demikian kita bisa melihat bahwa kalau R saya buat sama dengan 1

maka segitiga ini dapat saya pasang dan saya masukkan ke dalam lingkaran ini

Dan ketika lingkaran yang berjari-jari satu ini segitiga ini

maka ketimbang mengukur sudut dengan menggunakan derajat

saya mengganti menghitung sudut ini bukan dengan menggunakan derajat

tapi dengan menggunakan panjang busur yang berada di hadapannya.

Jadi panjang busur ini yang saya gunakan sebagai ukuran dari sudut tersebut.

Jadi berapa X adalah sama dengan panjang dari busur lingkaran yang berada di depan ini.

Dan anda ingat bahwa panjang dari sebuah segmen itu adalah bilangan real.

Dengan demikian kita mentransformasikan fungsi dari derajat ke bilangan real

menjadi fungsi dari bilangan real ke bilangan real.

Dan definisinya semua tetap sama yaitu sinus dari X itu tidak lain adalah

sisi di hadapan ini dan barangkali mungkin sudutnya tetap saya jaga sebagai teta.

Sinus dari teta ini tidak lain adalah besar ini yaitu Y dibagi dengan 1 atau Y saja.

Dan kemudian X itu adalah kosines teta dan tangan teta kita bicarakan dengan hal yang sama.

Nah yang menarik disini tentunya kita bisa lihat bahwa kalau sudut tetanya ini bergerak sepanjang sini.

Perhatikan bahwa ketika sudutnya pada segitiga siku-siku ini berputar 360 derajat

maka panjang busur yang dilewatinya adalah keseluruhan lingkaran

yaitu keliling lingkaran ini yang besarnya adalah 2PR dan Rnya 1 seluruh lingkaran ini besarnya 2P.

Dan dari situlah akhirnya muncul bahwa P itu tidak lain adalah 180 derajat

atau 180 derajat berpadangan dengan P radian satu hal yang kita lihat di SMA.