Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas diagram Venn untuk memperlihatkan hubungan antara himpunan bilangan, mulai dari bilangan asli hingga bilangan real. Operasi penjumlahan pada bilangan bulat dipertahankan saat dilihat sebagai bilangan rasional, begitu juga saat berpindah ke bilangan real. Namun, terdapat perbedaan saat menggunakan bilangan real dalam perkalian, di mana konsepnya berevolusi menjadi objek geometris berdimensi 2.

Untuk mengerti himpunan, matematika membangun sebuah cara untuk memperlihatkan himpunan dengan lebih mudah secara grafik.

Yaitu dengan apa yang kita kenal dengan nama diagram Venn seperti ini.

Jadi dari sini apa yang dapat kita baca, kita dapat melihat bahwa himpunan bilangan asli merupakan bagian dari himpunan bilangan bulat.

Dan himpunan bilangan bulat merupakan bagian dari bilangan rasional.

Dan bilangan rasional merupakan bagian dari bilangan real.

Jadi dapat kita kenali bahwa misalkan kita tahu bahwa di sini ada di dalam himpunan bilangan asli,

kita punya bilangan min 1, kita punya bilangan 0.

Dan kedua bilangan ini tidak berada di dalam n.

Dan kita tahu juga bahwa di dalam bilangan rasional Q, kita akan punya bilangan seperti 2 per 3.

Dan bilangan ini tidak berada di dalam bilangan bulat.

Dan kita sudah perlihatkan tadi bahwa di dalam sini kita akan punya beberapa buah bilangan lain dan mereka itu disebut bilangan irasional.

Yaitu salah satunya adalah akar 2, bisa juga ada akar 3.

Lalu ada bilangan yang kita kenal dengan nama P.

Kemudian yaitu besarnya 3,1416 dan seterusnya.

Lalu ada lagi yang kita kenali misalkan bilangan E.

Nah ini bilangan-bilangan yang bukan merupakan bilangan rasional.

Untuk kepentingan kita, mari kita lupakan dulu bilangan asli.

Tapi kita hanya perhatikan bilangan bulat dan bilangan real serta bilangan rasional.

Nah perhatikan bahwa di dalam bilangan bulat saya punya operasi penjumlahan.

Misalkan disitu saya punya ada-ada bilangan-bilangan bulat A dan B disini.

Dan saya punya operasi penjumlahan di dalam sana.

Saya dapat jumlahkan mereka di dalam bilangan bulat sehingga menghasilkan bilangan 3.

Tapi bilangan bulat ini juga dapat kita kenali sebagai bagian dari bilangan rasional.

Dan di dalam bilangan rasional, bilangan 1 ini dapat saya tulis menjadi 1 per 1.

Dan kalau saya jumlahkan ini, maka saya dapatkan ini menurut aturan yang penjumlahan dalam bilangan rasional.

Dia adalah 1 dikali 1 ditambah 1 dikali 2 dibagi dengan 1 dikali 1.

Jadi sama dengan 1 tambah 2 per 1 atau sama dengan 3 per 1.

Jadi dari sini kita dapat melihat bahwa sebagai bilangan rasional penjumlahan

dan operasi-operasi yang kita temukan pada bilangan bulat itu tetap dipertahankan.

Nilainya tidak berubah hanya karena kita memandang dia sebagai bilangan rasional.

Dan demikian juga ketika kita berpindah kepada bilangan real,

maka semua operasi-operasi yang telah kita miliki sebelumnya

itu pun juga akan dipertahankan di dalam bilangan real.

Sebagai nilainya akan dipertahankan di dalam bilangan real.

Yaitu kalau saya bicara di dalam bilangan bulat, di Z.

Di dalam Z, bilangan bulat, saya gunakan kapur kuning di sini.

Saya bisa menjumlahkan 2 buah bilangan yaitu 3 ditambah dengan 3.

Dan secara grafis saya bisa mencoba menggambarkan ini sebagai 3 buah dot seperti ini.

Kemudian dijumlahkan dengan 3 buah dot yang berikutnya.

Dan 6 tidak lain adalah menghitung semua dot yang ada di sini.

Jadi 3 tambah 3 itu tidak lain adalah 3 dikali dengan 2.

Itulah sebabnya di dalam bahasa Inggris kita punya kata-kata seperti 2 times 3.

Nah, perhatikan bahwa ketika kita berpindah konsep ini ke dalam bilangan real.

Untuk bilangan real saya gunakan kapur biru sekarang.

Di dalam bilangan real ada sesuatu yang missing di sini.

Saya tidak lagi dapat menggunakan misalkan akar 2 dikali dengan akar 3.

Saya tidak dapat lagi menggunakan prinsip yang sama.

Saya tidak dapat menggunakan lagi dot titik-titik seperti ini untuk menyatakan akar 2.

Jadi ada perbeda, ada transisi sedikit dari bilangan rasional ke bilangan real.

Dimana modelnya masih mirip tetapi tidak lagi dapat kita artikan sebagai titik-titik seperti ini.

Namun kita dapat kita artikan sebagai panjang dari sebuah segmen akar 2.

Dan ini adalah panjang dari segmen garis yang lain akar 3.

Dan perkalian ini tidak lain adalah luasan dari objek geometris berbentuk persegi panjang seperti ini.

Jadi bukan lagi seperti matriks yang kita kenali seperti ini.

Himpunan titik-titik noktah-noktah seperti ini.

Namun berubah, berevolusi menjadi sebuah objek geometris berdimensi 2 yaitu persegi panjang seperti ini.

Itulah perbedaannya perkalian pada bilangan rasional dan bilangan bulat dengan perkalian pada bilangan real.

Diagram Venn Real & Operasinya

DEKSRIPSI

PENGAJAR

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

DEKSRIPSI

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.