Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang kemonotonan dalam konteks aplikasi turunan pada mata kuliah Kalkulus 1. Konsep kemonotonan menjelaskan bahwa fungsi monoton naik mempertahankan urutan nilai yang kecil tetap kecil, sedangkan fungsi monoton turun membalik urutan nilai. Teorema kemonotonan digunakan untuk membuktikan apakah suatu fungsi monoton naik atau turun dengan memeriksa tanda turunan. Meskipun fungsi monoton naik tidak selalu memiliki turunan positif, fungsi monoton turun pasti memiliki turunan negatif. Jadi, penting untuk memahami apakah sebuah fungsi monoton naik atau turun dalam perhitungan matematika.

Ada sebuah becandaan yang mungkin gak terlalu lucu juga sih tapi kira-kira seperti ini.

Waktu itu saya lagi hiking ceritanya, naik gunung.

Nah terus kemudian capek, capek banget gitu.

Nah terus saya lagi kelelahan seperti itu tuh saya lihat aduh ini kok jalan tanjakannya tinggi sekali ya.

Tinggi sekali jadi terbayang melalahkan sekali gitu.

Lalu seorang teman saya bilang seperti ini.

Wah kalau kamu capek melihat tanjakan yang seperti itu nanjak, capek.

Dengan begitu kamu akan melihat jalannya turun.

Tapi sebenarnya kita naik juga gitu kan ya tetap seperti itu.

Nah apa maksud dari jokes ini, dari becandaan ini maksudnya adalah seperti ini.

Bahwa naik atau turun itu tidak ada artinya kecuali kamu menentukan dulu pertama kali arah gerak kamu mau kemana.

Jadi dalam hal ini kita juga mau mengatakan yang sama apakah sebuah fungsi itu naik atau turun.

Nah itu semua tidak ada artinya kecuali kita menentukan terlebih dahulu arah gerak kita seperti apa.

Jadi fungsi yang naik itu kira-kira kita maunya seperti ini.

Kalau saya bergerak ke arah X yang membesar maka fungsinya itu makin besar.

Seperti itu dan kalau ini yang saya sebut dengan fungsi naik.

Kalau saya mau bergerak ke arah yang X membesar fungsinya turun maka nilai F itu harus menurun.

Ini yang saya maksud dengan fungsi yang monoton turun.

Jadi dalam hal ini saya katakan kalau X1 lebih kecil dari X2.

Jadi X1 lebih kecil dari X2 maka FX1 lebih kecil dari FX2.

Nah itu adalah fungsi yang naik, itu adalah fungsi yang monoton naik.

Dan turun kalau X1 lebih kecil dari X2 maka FX1 lebih besar dari FX2.

Nah meskipun ini tentu definisi yang precise gitu.

Tapi kalau saya lebih suka melihat dengan cara seperti ini.

Jadi apa sih artinya fungsi yang monoton naik itu?

Fungsi yang monoton naik artinya fungsi tersebut tidak membalik urutan.

Fungsi yang monoton naik dia mempertahankan urutan yang kecil tetap kecil dibandingkan dengan yang satunya.

Sedangkan fungsi yang monoton turun adalah fungsi yang membalik urutan.

Jadi fungsi yang monoton turun itu kalau yang pertama X1 itu lebih kecil dari X2.

Nilai fungsinya justru jadi lebih besar daripada nilai X2.

Coba lihat di dalam sebuah fungsi yang monoton naik seperti itu.

Kalau kita punya sebuah fungsi yang monoton naik urutan itu tetap dipertahankan.

Jadi kalau saya punya misalkan fungsi FX sama dengan akar dari X2 tambah X-1 misalkan seperti ini.

Lalu kita mau cari atau udah deh jangan gini deh gantinya gini.

Kemudian kita diminta mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari ini.

Dan kita tahu tadi nilai maksimum dan nilai minimumnya bisa dicapai,

Nah melibatkan turunan fungsinya seperti ini.

Ngitung turunannya jadi 1 per 2 akar dari GX kemudian dikali dengan GXNX.

Setengah mati banget turunan seperti itu.

Alangkah asiknya kalau kita boleh melupakan akar ini.

Maka kita akan bisa bekerja dengan lebih nyaman.

Nah jangan lupa kita punya fungsi akar itu bentuknya seperti ini.

Tetapi kalau kita bekerja dengan FX yang bentuknya adalah 1 per GX.

Dan maksimumnya si G adalah minimumnya si F.

Tapi kita harus hati-hati dalam menggunakannya.

Itu pentingnya mengapa kita perlu tahu apakah sebuah fungsi itu monotonaik atau monoton turun.

Sayangnya kalau menggunakan ini kita susah sekali untuk menunjukkan ini.

Bayangkan kita harus mengambil X1 dan X2 kemudian melihat seperti ini.

Rasanya sulit sekali kita untuk menggunakan ini dalam computation, dalam perhitungan.

Jadi kita punya sebuah teorema kemonotonan.

Kemonotonan yang sangat ideal untuk kita gunakan sebagai senjata untuk menghitung.

Jadi kalau kita tahu bahwa F aksen X itu negatif di X anggota I.

Maka kita punya di sini bahwa F monoton turun di interval I.

Sedangkan kalau F aksen X itu positif di X anggota I.

Nah bagaimana membuktikan teorema kemonotonan ini?

Cara membuktikannya adalah dengan menggunakan teorema nilai rata-rata tadi.

Jadi untuk memeriksa apakah F monoton naik atau turun di interval I.

Caranya adalah kita ambil sebarang X1 lebih kecil dari X2 yang berada di dalam I.

Kita ambil sebarang 2 titik di dalam I yang kita tahu X1 lebih kecil dari X2.

Nah kemudian kata teorema nilai rata-rata akan terdapat sebuah C.

Di dalam interval X1, X2 karena X1 lebih kecil dari X2 maka intervalnya saya tulis seperti ini.

Kalau saya ambilnya kebalik X1 yang lebih besar maka X2 yang di kiri gitu ya.

Akan terdapat C di sini sehingga kita punya apa?

Bahwa F aksen C itu akan sama dengan F X2 kurang F X1 dibagi X2 kurang X1.

Tapi F aksen X negatif di setiap titik di I.

Kita tahu X1 lebih kecil dari X2 maka X2 kurang X1 positif.

Kesimpulannya kita punya F X2 negatif berarti lebih kecil dari F X1 atau kita punya kondisi ini.

Jadi kalau F aksen X negatif kita akan punya monoton turun.

Kemudian kebalikannya ya sama tentunya kalau positif kita akan punya yang ini.