Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas Teorema Fundamental Kalkulus II yang menjelaskan konsep antiturunan dari fungsi f dalam bentuk integral dari a sampai x f tdt. Teorema ini menyatakan bahwa selisih antara dua antiturunan f dan g harus konstan, dengan g sebagai antiturunan lain dari f. Dengan penerapan teorema ini, kita dapat menghitung integral dengan mengevaluasi nilai fungsi pada batas-batas integrasi, yang merupakan antiturunan dari f. Teorema ini mengawinkan konsep limit dengan antiturunan, membuat penghitungan integral menjadi lebih sederhana dan dapat dilakukan secara umum selama dapat menghitung antiturunan.

Ingat kita telah mendefinisikan tadi bahwa bentuk integral dari a sampai c x f tdt itu adalah salah satu dari antiturunan bagi f.

Dan saya gunakan notasi yang berbeda sekarang, saya misalkan integral ini adalah fungsi g.

Jadi fungsi g x itu didefinisikan sebagai antiturunan dari f yang berbentuk integral dari a sampai x f tdt seperti ini.

Nah kemudian sekarang apa yang saya lakukan di sini saya misalkan saya punya f x adalah antiturunan lain dari f.

Kan ada banyak Pak, yang mana yang kita pilih terserah bebas tidak ada kaitan.

Pokoknya antiturunan yang lain tidak harus yang berbentuk integral ini sebarang antiturunan yang lain dari f.

Maka tadi sudah kita diskusikan kita sudah punya bahwa selisih antara f dengan g harusnya adalah konstan.

Jadi di sini saya dapatkan bahwa f x kalau saya kurangi dengan g x ini tidak lain adalah f x

dikurangi dengan integral dari a sampai x f tdt ini harus konstan.

Nah apa yang terjadi ini harus dipenuhi untuk setiap x ya ini harus dipenuhi untuk setiap x.

Oke apa yang terjadi sekarang kalau x nya saya pilih sama dengan a kalau x sama dengan a

maka saya dapatkan f a dikurangi dengan integral dari a sampai a oh itu 0.

Integral dari a sampai a itu 0 harus sama dengan c jadi saya tahu bahwa c nya harus sama dengan f a.

Jadi saya dapat revisi tulisan di atas saya bisa tulis f x dikurangi dengan integral dari a sampai x

Dan kalau saya pilih sekarang x nya sama dengan b maka saya dapatkan x nya diganti b

saya dapat tulis bahwa integral dari a sampai b adalah f b dikurangi dengan f a.

Dan ini yang kita kenal dengan nama Teorema Fundamental Kalkulus yang kedua.

Yaitu apa menghitung integral dapat dilakukan dengan mengevaluasi nilai fungsi tersebut

pada batas-batas integrasinya fungsi yang mana fungsi yang adalah antiturunan dari f.

Antiturunan yang mana terserah antiturunan yang mana bebas itu sebabnya dulu ketika kita menghitung

integral ini kita tidak perlu mengambil integral dengan plus 1 kita tidak perlu mengambil sesuatu

yang turunannya adalah f x kemudian ditambahkan 5 gak perlu cukup yang tambah yang konstantannya 0.

Mengapa? Karena teorema ini mengatakan bahwa siapapun gak masalah hasilnya akan tetap sama

dengan nilai fungsi itu di b dikurangi dengan f di a.

Mengapa ini begitu fundamental kedua teorema ini disebut teorema yang sangat fundamental?

Karena kita bisa lihat disini bahwa konsep integral yang tidak lain adalah jumlah riman

dari nilai fungsi dikalikan dengan delta x itu sebenarnya gak ada kaitannya dengan turunan.

Gak ada kaitannya dengan menghitung antiturunan atau pun dengan turunan.

Namun teorema fundamental kalkulus ini mengawinkan dua buah konsep yang sepertinya irrelevant.

Yaitu apa? Konsep limit di mahriman dengan konsep antiturunan.

Dan karena teorema fundamental kalkulus ini maka menghitung integral menjadi pekerjaan yang jauh lebih sederhana.

Dan dapat bekerja secara umum selama kita dapat menghitung antiturunan

kita selalu bisa menghitung integral dari sesuatu.

Contoh kalau kita mau pakai limit jumlah riman yang tadi kita perlihatkan

kalau kita mau menghitung integral dari 1 sampai 5 dari x pangkat 10 bisa gak?

Saya tentu harus menghitung banyak sekali, saya harus menghitung sigma k pangkat 10.

Dan untuk menghitung sigma k pangkat 10 saya butuh menghitung sigma k pangkat 9.

Sebelum sigma k pangkat 9 saya perlu membuktikan pangkat 8, 7, 6, 5, dan seterusnya.

Tapi kalau saya mau menggunakan limit jumlah riman untuk menghitung integral dari cos x

Kalau polinom selalu bisa dan masih bisa dilakukan.

Dengan menggunakan teorema fundamental kalkulus ini

integral cos x dari A sampai B jadi perkara yang mudah untuk dihitung.

Sebab kita tahu bagaimana cara menghitung antiturunan dari cos x.