Name: Contoh Soal 2: Cek Limit Fungsi dengan Peubah Banyak
Uploaded: 2023-03-19

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh soal cek limit fungsi dengan peubah banyak. Fungsi tersebut tidak memiliki limit di sekitar 0,0. Melalui pendekatan sepanjang garis, terlihat bahwa limitnya adalah 0. Berbeda dengan fungsi y sama dengan mx, fungsi y sama dengan ax kuadrat memiliki limit yang berbeda tergantung nilai a. Penjelasan lebih lanjut diberikan melalui contoh fungsi lain seperti fx,y sama dengan x kuadrat kali y. Dalam analisis ini, terlihat bahwa limitnya kembali ke 0.

Mari kita coba memperlihatkan bahwa fungsi ini tidak memiliki limit di sekitar 0,0.

Seperti biasa kita akan mencoba mendekati titik 0,0 sepanjang garis.

Maka kita sama dengan melihat limit x menuju ke 0 dari fungsinya x pangkat 4

dibagi dengan x pangkat 4 plus m kuadrat kali x kuadrat.

Dan ini dapat kita sederhanakan menjadi limit x menuju 0 dari x pangkat 4

dibagi dengan, nah perhatikan x kuadratnya bisa keluar dari sini.

Jadi x kuadrat dikali dengan x kuadrat ditambah dengan m kuadrat.

Ini habis tinggal 2, perhatikan sekarang kalau x menuju ke 0

yang atas 0 yang bawah adalah m kuadrat berarti limitnya akan sama dengan 0.

Kalau yang tadi y sama dengan mx selalu hasilnya berbeda-beda tergantung dari m nya.

Kalau sekarang enggak, saya dapatkan bahwa sepanjang garis y sama dengan mx

Apakah berarti kalau begitu limitnya ada sama dengan 0?

Ini baru satu cara, baru sedikit cara untuk mendekati 0,0 sepanjang garis y sama dengan mx.

Jadi ini dengan kata lain adalah sepanjang garis-garis ini keluarga garis-garis ini

Sekarang kita bisa melihat mendekati titik yang sama ini dengan cara yang berbeda.

Jadi saya akan melihat sekarang sepanjang kurva y sama dengan ax kuadrat.

Jadi saya seperti melihat sekarang sepanjang parabola-parabola seperti ini.

Seperti itu ya dan kalau saya substitusikan ini maka limitnya adalah limit x

menuju ke 0 dari x pangkat 4 dibagi dengan x pangkat 4 plus a kuadrat

dikali dengan x pangkat 4 karena x nya kuadrat.

X pangkat 4 jadi kita bisa bawa x pangkat 4 nya keluar

maka saya dapatkan limit x menuju 0 dari x pangkat 4 dibagi x pangkat 4 kali 1 plus a kuadrat.

Jadi limitnya adalah 1 per 1 plus a kuadrat.

Lagi-lagi untuk a yang berbeda nilai limitnya berbeda.

Kalau a nya sama dengan 1 maka limitnya sama dengan setengah.

Kalau a nya sama dengan 2 limitnya adalah 1 per 5.

Pertanyaannya sekarang tau dari mana saya bahwa kita harus mendekati y sama dengan ax kuadrat?

Karena pangkat di bawah yang bisa saya keluarkan itu lebih kecil dari pangkat yang di atas.

Sehingga waktu x nya menuju ke 0 karena yang di atas masih ada x nya yang di bawah sudah ada yang hilang

Jadi supaya saya bisa mengeluarkan x pangkat 4 di sini

maka si y ini haruslah fungsi dalam x kuadrat.

Supaya kalau di kuadratkan jadi x pangkat 4

sehingga waktu ditarik x pangkat 4 nya bisa keluar dan muncullah bentuk seperti ini.

Jadi dari bentuk ini kita bisa menduga bahwa

kalau begitu fungsinya harus seperti apa yang menghasilkan limit atau tidak.

Untuk memeriksa misalkan kalau kita lihat contoh lain

fx,y sama dengan let's say x kuadrat di kali y

ditambah dengan fungsi yang sama x pangkat 4 plus y kuadrat seperti ini.

maka y diganti dengan mx di atas akan jadi mx pangkat 3.

Sedang di bawah akan jadi mx pangkat 2 m kuadrat x pangkat 2

x pangkat 2 keluar karena ini x pangkat 4 x pangkat 2 nya keluar.

Di sini mx pangkat 3 di sini yang bisa keluar pangkat 2.

Jadi limitnya akan sama lagi sama dengan 0.

Nah bagaimana caranya saya ganti dengan siapa di sini?

Lagi-lagi kalau saya ganti dengan mx kuadrat

x pangkat 4 yang di sini akan jadi m kuadrat x pangkat 4

Dari pangkat-pangkat ini kita bisa menduga yang mana

yang bisa memberikan kepada kita nilai limit yang berbeda.