Name: Memperlihatkan Geometri Persamaan Bidang Singgung
Uploaded: 2023-03-19

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang geometri persamaan bidang singgung dalam konteks fungsi F dengan variabel X, Y, dan Z di ruang berdimensi n. Konsep penting yang dijelaskan meliputi hubungan antara faktor gradien fungsi dengan kurva ketinggian, level set, dan permukaan ketinggian. Dengan menggunakan turunan parsial terhadap variabel X, Y, dan Z, dapat ditentukan gradien dari fungsi F di suatu titik yang selalu tegak lurus pada permukaan ketinggiannya. Hasilnya adalah persamaan untuk bidang singgung dari kurva Z sama dengan Fx, Y.

Tadi saya sudah punya fungsi F, X, Y, kalau saya gambar grafiknya, grafiknya akan ada di R3.

Tapi kalau saya gambar kurva ketinggiannya C, grafiknya akan ada, kurva ketinggian ini akan ada di R2 ya.

Kurva ketinggiannya ada di R2, grafiknya ada di R3.

Tetapi kita harus catat di sini adalah apa?

Bahwa kita tahu tadi kurva ketinggian dari, faktor gradien dari F itu senantiasa tegak lurus pada kurva ketinggian ini ya.

Faktor gradien selalu tegak lurus pada kurva ketinggian.

Nah sekarang perhatikan grafik ini, Z sama dengan Fx, Y seperti ini.

Saya akan definisikan sekarang, saya akan bentuk sebuah fungsi baru, fungsi yang mana?

Sekarang fungsinya adalah F, fungsi ini mempunyai variable bukan hanya 2 tetapi 3 yaitu X, Y, dan Z.

Fungsi ini didefinisikan menjadi Z dikurangi dengan Fx, Y oke.

Nah kalau saya gambarkan kurva ketinggian atau level set, bukan kurva ketinggian karena bukan kurva lagi sekarang.

Kalau saya gambarkan level set dari F, Fx, Y, Z sama dengan konstan dia akan hidup di R3.

Persis seperti F kecil X, Y kalau saya hitung di C untuk konstan dia akan berupa sebuah kurva di R2.

Nah sekarang saya akan punya F besar X, Y, Z sama dengan konstan dia akan mendefinisikan sebuah permukaan di R3.

Khususnya untuk C sama dengan 0 saya akan punya sebuah permukaan di R3.

Dan kalau F, X, Y, Z sama dengan 0 berarti Z sama dengan Fx, Y.

Yang mana permukaan ketinggiannya, level setnya?

Di R3 dan Z sama dengan Fx, Y berarti F besar X, Y, Z sama dengan 0 seperti itu.

Oke nah sekarang saya punya titik X0, Y0 disini.

X0, Y0 disini dan saya bisa bawa kesini ini Z0 nya.

Setuju saya punya sebuah titik pada kurva ketinggian X0, Y0 dan Z0.

Ingat apa yang sudah kita turunkan tadi bahwa faktor gradien selalu tegak lurus pada kurva ketinggian

atau pada level setnya pada permukaan ketinggian disini.

Jadi kalau saya hitung gradien dari F di titik X0, Y0, Z0 itu selalu tegak lurus pada permukaan ketinggiannya.

Pada permukaan ketinggian ini, pada permukaan pada level setnya.

Jadi kalau ini adalah level setnya maka gradien dari F ini pasti adalah sebuah faktor yang tegak lurus.

Entah ke sana atau mungkin ke bawah seperti itu.

Kalau F nya seperti ini gradien dari ini adalah minus dou F dou X di titik X0, Y0.

Minus dou F dou Y di titik X0, Y0 turunan parsial terhadap X, turunan parsial terhadap Y

Ini selalu tegak lurus pada kurva ketinggian.

Jadi ini adalah X dikurangi X0, Y dikurangi Y0, Z dikurangi Z0.

Jadi dia adalah himpunan dari titik-titik ini.

Maka faktor ini adalah faktor X dikurangi X0, Y dikurangi Y0, Z dikurangi Z0.

Jadi persamaan ini adalah persamaan untuk bidang singgung dari kurva Z sama dengan efek Y.

Jadi ketika saya katakan pada definisinya tadi bahwa ini merupakan persamaan bidang singgung.

Itu bukan hanya tebakan atau kemiripan dengan yang dulu.

Tetapi benar-benar dapat kita perlihatkan bahwa memang ini adalah persamaan bidang singgungnya.