Name: Contoh Soal 1: Persamaan Bidang Singgung dengan Geometri
Uploaded: 2023-03-22

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas cara mencari persamaan bidang singgung dari suatu permukaan dengan persamaan matematika X kuadrat + Y kuadrat + Z = 9 pada titik tertentu. Dengan geometri, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi Z = 9 - X kuadrat - Y kuadrat, membentuk paraboloida dengan puncak di titik 9. Gradien dari fungsi F selalu tegak lurus dengan level set, sehingga persamaan bidang singgung pada level set di titik tertentu dapat ditemukan dengan vektor gradien. Persamaan bidang singgung pada video ini adalah 2X - 1 + 2Y - 2 + Z - 4 = 0.

Kita diminta untuk mencari persamaan bidang singgum dari permukaan yang didefinisikan oleh permukaan ini.

X kuadrat ditambah Y kuadrat ditambah Z sama dengan 9 di titik 1, 2, 4.

Yang pertama kita harus periksa tentunya adalah apakah benar titik ini terletak pada permukaan atau tidak ya.

Dan itu gampang untuk kita periksa kalau kita hitung kita akan dapatkan di sini 1.

Kemudian kalau kita tambahkan dengan 4 hasilnya adalah 9.

Berarti benar bahwa titik ini terdapat di dalam sana.

Nah secara geometris kita bisa melihat bahwa persamaan ini,

persamaan ini itu dapat ditulis menjadi Z sama dengan 9 dikurang dengan X kuadrat ditambah Y kuadrat seperti itu.

Jadi kita akan punya sebuah paraboloida seperti ini dengan puncak di titik 9.

Dan kemudian level setnya kurang lebih adalah lingkaran-lingkaran seperti itu.

Dalam hal ini kita akan menuliskan ini kita akan tuliskan sebagai F X, Y.

Jadi di sini kita akan definisikan F X, Y itu sama dengan 9 dikurang dengan X kuadrat ditambah dengan Y kuadrat seperti itu.

Lalu kemudian kita akan definisikan lagi sebuah fungsi F besar X, Y, Z yang tidak lain adalah Z dikurangi dengan F X, Y seperti itu.

Nah kita harus bisa melihat bahwa permukaan paraboloida ini dia tidak lain adalah kurva ketinggian dari fungsi F.

Jadi permukaan X kuadrat ditambah Y kuadrat ditambah Z sama dengan 9 itu adalah level set dari F X, Y, Z

Jadi kalau saya buat ini sama dengan 0 maka saya dapatkan Z sama dengan F X, Y yang tidak lain adalah permukaan ini.

Dan kita punya satu sifat di sini yang penting saya beri bintang di sini bahwa gradien, vektor gradien grad F itu selalu tegak lurus level set.

Dengan demikian kalau saya punya yang kuning ini adalah bidang singgung pada level set di titik ini maka vektor gradiennya akan tegak lurus pada bidang ini.

Dengan kata lain vektor ini yang adalah vektor normal pada bidang dia adalah gradien dari F.

Dan gradien dari F kalau F nya seperti ini gradien dari F adalah minus dou F dou X kemudian minus dou F dou Y kemudian torunannya terhadap Z 1.

Dan kita harus evaluasi di titik 1, 2, dan 4.

Baik kalau kita lihat F kecilnya, F kecilnya itu adalah ini kan berarti minus dou F dou X adalah 2X ya turunan dari ini terhadap X adalah minus kemudian karena di sini ada tanda minus berarti jadi 2X.

Dan turunan parsial dari F terhadap Y 2Y dan ini 1.

Jadi kalau saya substitusikan titik 1, 2, 4 maka vektor gradiennya adalah 2, 2, 1 ini vektor gradiennya dan dia harus tegak lurus pada bidang ini.

Nah untuk mencari persamaan bidangnya saya ambil sebarang titik pada bidang yang saya namakan X, Y, Z tentunya dia adalah vektor ini.

Oke itu adalah vektor X, Y, Z dan kemudian saya punya vektor ini yang hijau ini tidak lain adalah vektor 1, 2, 4 sebab pangkalnya di 0, 0 dan ujungnya ada di titik 1, 2, 4.

Maka saya akan bisa mendapatkan saya akan bisa menghitung vektor yang merah ini dan vektor yang merah ini akan tergeletak pada bidang dengan demikian saya akan dapatkan di sini vektor yang merah ini adalah X dikurangi dengan 1 kemudian Y dikurangi dengan 2 dan Z dikurangi dengan 4.

Jadi vektor yang merah ini tidak lain adalah vektor biru kurang vektor hijau, vektor birunya adalah X, Y, Z dikurang dengan 1, 2, 4 saya dapatkan seperti ini.

Dan vektor yang merah itu tergeletak pada bidang dengan demikian dia harus tegak lurus pada normal jadi harus tegak lurus pada vektor 2, 2, 1.

Tegak lurus berarti dot produknya sama dengan 0 dan dengan demikian saya dapatkan 2X kurang 1 plus 2 kali Y kurang 2 plus Z kurang 4 sama dengan 0 inilah persamaan bidang singgung.