Name: Arti dari e Pangkat Bilangan Kompleks x Omega
Uploaded: 2023-03-22

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas arti dari E pangkat bilangan kompleks x Omega dalam konteks persamaan diferensial. Penjelasan diberikan tentang penggantian X dengan X pangkat Y serta perhitungan nilai dari I pangkat bilangan bulat. Hasilnya mengaitkan E pangkat I Omega T dengan cosinus dan sinus Omega T. Konsep ini terkait dengan fungsi trigonometri eliptik dan hyperbolic yang relevan dalam matematika. Solusi persamaan diferensial dijelaskan dengan memisahkan X1 dan X2 sebagai solusi yang sesuai.

Bagian ini sekarang kita akan mencoba memberikan meaning, pengertian pada apa yang dimaksud dengan E pangkat bilangan kompleks.

E pangkat, bukan bilangan kompleks secara umum, E pangkat I kali omega.

Sebelum saya mulai saya beli dulu sebuah warning bahwa mungkin bagian ini buat beberapa dari Anda akan sangat-sangat membingungkan

dan sangat-sangat memusingkan karena kita tidak terlalu tidak biasa bekerja dengan cara seperti ini.

Tapi juga saya tetap ingin memperlihatkannya kepada teman-teman karena ini memperlihatkan kepada Anda suatu proses bermatematika yang luar biasa.

Yaitu kita menggeneralisasi sesuatu dari apa yang kita sudah ketahui sebelumnya.

Nah, apa yang sudah kita ketahui sebelumnya?

Yang sudah kita ketahui sebelumnya adalah kalau saya punya E pangkat X, Xnya bilangan real,

ini dapat saya tuliskan menjadi deret yang berbentuk seperti ini.

Kalau Anda tidak tahu ini, Anda lupa sebaiknya lihat lagi bab-bab yang sebelumnya dimana kita menurunkan ini.

Ini tidak lain adalah deret McLaurin dari E pangkat X.

Nah, sekarang kita akan mengganti X dengan X pangkat Y.

Nah, berarti saya tinggal mengganti semua X dengan Y pangkat Y.

Sebab kita tahu bahwa E pangkat X ini dapat dituliskan ke dalam bentuk seperti ini untuk menjadi X pangkat Y.

Nah, bagaimana kita bisa mengganti X dengan X pangkat Y?

Kita bisa mengganti X dengan X pangkat Y.

Masalahnya adalah saya akan menghitung ini menjadi I omega.

Kemudian di sini akan menjadi I kuadrat kali omega kuadrat.

Dan di sini menjadi I pangkat 3 kali omega pangkat 3.

Dan di sini menjadi I pangkat 4 kali omega dan seterusnya.

Jadi saya perlu menghitung sekarang berapa I pangkat bilangan bulan.

Semua bilangan yang tidak 0 kalau kita pangkatkan dengan 0 hasilnya harus 1.

Dan I pangkat 1 tentunya adalah I sendiri.

I kuadrat, kan I itu adalah akar dari min 1.

Berarti kalau saya kuadratkan hasilnya harus sama dengan min 1.

Dan karena I kuadrat adalah min 1 berarti ini adalah minus I.

I pangkat 4 adalah I kuadrat dikali I kuadrat.

Berarti kalau saya sekarang ini adalah I pangkat 4.

Jadi I pangkat 5, saya kalikan I, ya ke sini dong.

I pangkat 5, ini I pangkat 6, ini I pangkat 7, dan seterusnya.

Jadi saya punya sebuah perilaku yang berulang setiap 4 kali.

Setiap 4 kali, I pangkat 0 1, pangkat 1 I, pangkat 2 min 1, pangkat 3 min I.

Kemudian pangkat 4 balik lagi ke 1, dan seterusnya.

Jadi ini dapat dilanjutkan yang I pangkat 8, I pangkat 9, I pangkat 10, I pangkat 11, dan seterusnya.

Nah kalau begitu, kalau saya sekarang ganti X dengan I kali omega.

Maka ini akan berubah menjadi 1 plus I kali omega.

I kuadrat, saya tinggal lihat library saya.

Jadi saya akan punya minus 1 per 2 faktorial di kali omega kuadrat.

Kemudian plus, di sini saya akan punya pangkat 3.

Berarti saya akan punya, saya lihat library saya lagi, pangkat 3 itu hasilnya adalah min I.

Berarti saya akan punya di sini minus 1 per 3 faktorial I di kali dengan omega pangkat 3.

Minus 1 per 4 faktorial yang pasti, kemudian I pangkat 4 akan kembali ke sini.

Berarti saya akan dapatkan omega pangkat 4.

Plus 1 per 5 faktorial I pangkat 5, I pangkat 5 balik lagi ke sini.

Ini, ini, ini, dan nanti yang ke 6, ke 8, ke 10, dan seterusnya.

Jadi yang tidak mengandung I itu memuat 1 plus, maaf, minus 1 per 2 faktorial omega kuadrat.

Minus plus 1 per 4 faktorial omega pangkat 4, dan seterusnya.

Saya bisa kumpulkan I nya di depan, maka saya punya di sini omega minus 1 per 3 faktorial omega pangkat 3,

itu yang ini, plus 1 per 5 faktorial omega pangkat 5, dan seterusnya.

Yang harusnya saya hitung bukan E pangkat I omega, tetapi E pangkat I omega T.

Jadi di sini saya akan dapat omega T kuadrat, ini menjadi omega T pangkat 4,

ini menjadi omega T, omega T pangkat 3, dan di sini omega T pangkat 5.

Saya bisa mengenali bahwa deret ini adalah deret untuk cosinus omega T.

Dan deret ini adalah deret untuk sinus omega T.

Jadi saya bisa tuliskan bahwa E pangkat min omega T adalah cosinus omega T plus I dikali dengan sinus omega T.

Jadi sesuatu yang tadinya kita tidak tahu artinya apa dengan menerapkan pengetahuan yang saya punya

dan kemudian sifat-sifat E pangkat bilangan bulat yang kita konstruksi,

maka kita bisa membuat sebuah pengaitan bahwa E pangkat I omega T ini akan berarti cosinus dan I kali sinus.