Name: Mengulas PD-1 & Sifat Persamaan Linear
Uploaded: 2023-03-22

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas bentuk umum persamaan diferensial order 2 dengan koefisien konstan, serta sifat persamaan linear. Dalam pengalaman persamaan diferensial order 1 linear, solusi dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial. Sifat persamaan linear menunjukkan bahwa kombinasi solusi x1 dan x2 juga merupakan solusi, dengan contoh substitusi yang memperlihatkan linearitas turunan. Dengan demikian, solusi dalam bentuk kombinasi alfa x1 plus beta x2 juga memenuhi persamaan tersebut.

Bentuk umum dari persamaan differential order 2, khususnya yang berkoefisien konstan adalah sebagai berikut.

x double aksen plus a kali x aksen plus b x sama dengan 0.

Sebelum kita mengkonstruksi solusi dari persamaan ini,

perhatikan pengalaman dari persamaan linear order 1 berbentuk x prime plus p x sama dengan 0.

Ini dapat saya tuliskan menjadi dx dt sama dengan min p x.

Dan kemudian mengalikannya dengan seper x, saya dapatkan 1 per x dikali dx dt sama dengan min p.

Dan kalau ini kita integralkan terhadap t, kita akan dapatkan ln x sama dengan min p t tambah konstan.

Sehingga dengan mengambil eksponensialnya, kita dapatkan x sama dengan k dikali e pangkat minus p t.

Jadi dengan kata lain, pengalaman dari persamaan order 1 adalah

persamaan differential order 1 linear memiliki bentuk solusi dalam bentuk fungsi eksponensial, eksponensial dari sesuatu.

Yang kedua adalah apa? Kita lihat apa yang dimaksud dengan sifat persamaan linear.

Misalkan x1 dan x2 adalah solusi, apa artinya x1 dan x2 adalah solusi?

Jadi kalau saya substitusi, saya dapatkan x1 double aksen plus a kali x1 aksen plus b kali x1 harus sama dengan 0.

Karena x1 nya adalah solusi. Demikian juga dengan x2.

Kalau sekarang saya pandang sesuatu yang lain yaitu y, y sama dengan alfa x1 plus beta x2.

Saya substitusikan, saya hitung y double aksen plus a kali y aksen plus b kali y.

Berarti saya tinggal mengganti y dengan alfa x1 plus beta x2, seperti itu ya.

Nah perhatikan double aksen itu aksen turunan itu adalah linear,

jadi kalau kombinasi seperti ini double aksennya seperti bisa masuk begitu saja.

Jadi alfa x1 double aksen plus beta x1 double aksen, demikian juga di sini ya.

Nah di sini ada alfa, ada alfa, ada alfa, saya bisa kumpulkan sehingga saya dapat alfa sama dengan x1 double aksen plus a kali x1 aksen plus b kali x1 ya, itu yang ini.

Nah yang beta ada di sini beta, beta, beta saya kumpulkan maka dari sini dapetnya x2 aksen ini,

kemudian dari sini betanya saya dapet a di kali x2 aksen, a x2 aksen dan dari sini saya dapetkan b kali beta, betanya keluar seperti itu.

Ingat x1 adalah solusi berarti ini sama dengan 0, jadi ini 0, ini juga solusi berarti ini 0, ini 0, 0 tambah 0 sama dengan 0.

Dengan kata lain apa, Y yang bentuknya seperti ini juga merupakan solusi dari persamaan yang sama.