Name: Persamaan Hiperbola
Uploaded: 2023-03-16

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas persamaan untuk hiperbola yang merupakan himpunan titik-titik dengan selisih jarak tetap terhadap dua titik tertentu. Persamaan hiperbola memiliki kemiripan dengan ellipse namun dengan tandanya berbeda. Hiperbola memiliki fokus di luar kurva impurannya yang berbeda dengan ellipse yang fokusnya di dalam. Asimtot adalah garis khusus pada hiperbola. Perbedaan antara keluarga ellipse dan hiperbola dapat dilihat dari koefisien X dan Y kawadratnya. Jika koefisiennya berbeda tanda, maka itu adalah keluarga hiperbola.

Objek yang ketiga yang akan kita diskusikan adalah persamaan untuk hiperbola.

Tapi saya tidak akan mengulangi lagi penurunannya sebab kurang lebih semuanya itu sama dengan yang ellipse.

Hanya ada sedikit komplikasi yang Anda perlu berhati-hati dan saya undang Anda semua untuk mencobanya sendiri ya.

Saya ingatkan dulu bahwa ellipse adalah himpunan titik-titik yang memiliki jumlah jarak terhadap dua buah titik tertentu itu senantiasa tetap.

Kita sudah turunkan tadi bahwa persamaannya akan jadi x per a kuadrat plus y per b kuadrat sama dengan 1.

Dimana b nya adalah akar dari a kuadrat minus p kuadrat.

Kita tahu a nya lebih besar dari p jadi saya tahu bahwa yang di dalam sini itu senantiasa lebih besar daripada 0.

Nah perhatikan sangat menarik bahwa kalau a nya itu cukup dekat dengan p maka a kuadrat dikurang p kuadrat itu akan menjadi sangat kecil.

Ya kalau a kuadratnya itu sangat dekat dengan p maka b nya akan mengecil.

Jadi bagian ini akan seperti mengecil ke sebelah sana kalau a nya cukup dekat dengan p.

Sedangkan kalau a nya besar sekali cukup jauh dari p dari titik p yang di sini maka ini akan besar sekali sehingga jarak ini akan semakin membesar.

Kira-kira seperti itu ya jadi ellipse tidak lain dapat kita letakkan di dalam sebuah persegi panjang seperti ini

yang panjangnya adalah 2a dan 2b seperti itu.

Nah kalau hiperbola itu sangat dekat dengan ellipse tetapi apa?

Hiperbola itu adalah himpunan titik-titik yang memiliki selisih bukan jumlah.

Kalau tadi jumlah jaraknya yang tetap kalau sekarang selisih jarak terhadap dua-dua titik tertentu itu selalu tetap.

Jadi persamaan awal yang akan mengawali penurunan kita itu seharusnya adalah jarak ke titik p,0

x-p kuadrat plus y kuadrat kemudian diakarkan kemudian di sini ini jarak ke titik min p,0 x plus p kuadrat plus y kuadrat.

Dan jaraknya tetap sama 2a tapi karena selisih kadang bisa plus kadang bisa minus.

Jadi dengan kata lain kalau ini lebih besar dari ini ya tentu tandanya minus.

Kalau ini yang lebih besar dari ini maka tandanya plus makanya di sini muncul plus minus 2a.

Pertanyaannya apakah ini akan menjadi masalah dalam perhitungan kita?

Jawabannya tidak, mengapa? Sebetul kita kuadratkan.

Dan ketika kita kuadratkan tanda plus minus ini tidak akan mempengaruhi perhitungan kita.

Jadi ini akan tetap berhasil dan kalau Anda tabah lakukan ini sesuai dengan step-step persis

seperti apa yang kita lakukan untuk ellipse tadi maka Anda akan dapatkan persamaan yang mirip sekali

dengan persamaan ellipse tetapi tandanya berubah minus di sini ya.

Dengan catatan bahwa b nya adalah p kuadrat dikurangi a kuadrat.

Jadi sekarang kalau ellipse itu a nya lebih besar dari p maka sekarang a nya itu seperti di dalam.

Titik fokusnya itu berada di luar dari titik itu.

Itu sebabnya kita gambarkan grafiknya kurang lebih kalau tadi kita punya persegi panjang

dengan panjang 2a dan lebar 2b kita punya persegi panjang yang sama 2a dan 2b

tetapi sekarang ellipsenya gambarnya kurva impurannya itu berada di luar.

Nah ada 2 buah garis yang spesial di sini 2 buah garis yang berpotongan seperti ini

dan garis ini didekati oleh kurva biru maupun yang ada di sini.

Nah kedua garis ini itulah yang dikenal dengan nama asimtot dari hiperbola ini.

Jadi himpunan ellipse dan hiperbola itu benar-benar mirip sekali hampir sama

Jadi salah satu ciri atau salah satu cara untuk memeriksa

apakah sebuah persamaan yang melibatkan X kawadrat dan juga Y kawadrat

itu adalah keluarga ellipse atau keluarga hiperbola

adalah dengan memeriksa koefisien dari X kawadrat dan Y kawadratnya.

Kalau koefisiennya sama plus plus atau min min tandanya sama maka dia adalah keluarga ellipse.

Kalau tandanya yang satu plus yang satu min maka dia adalah keluarga hiperbola.

Tentu Anda harus ingat ya kalau yang di depan X yang positif

yang di depan Y negatif maka dia akan menghadapnya ke sebelah sana.

Tapi kalau terbalik yang di sini yang positif di sini yang negatif

maka hiperbolanya akan muncul di bagian atas dan bawah seperti ini.

Dengan demikian kita sudah melihat semua irisan kerucut yang mungkin terjadi

antara bola ellipse maupun juga hiperbola.