Name: Contoh Soal 5: Integral ini Adalah Mimpi Lumayan Buruk
Uploaded: 2023-03-22

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh soal integral yang mungkin terlihat rumit pada awalnya namun dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat polar. Dengan mengubah ke koordinat polar, integral yang sulit dihitung menjadi lebih sederhana. Melalui langkah-langkah perhitungan yang sistematis, akhirnya integral tersebut dapat diselesaikan dengan hasil akhir pi per 2.

Ini menurut saya salah satu mimpi buruk yang lain.

Mimpi buruk yang mungkin tidak seburuk sebelumnya tapi lumayan buruk juga.

Memang sederhana bagian fungsi yang harus diintegralkannya.

Satu, jadi kalau saya hitung integral ini dapatnya Y.

Tapi kemudian saya harus menghitung Y, saya mensubstitusikan ini.

Jadi integral berikutnya adalah dari 0 sampai 2.

Integral berikutnya adalah akar 4 min X kuadrat dikurangi dengan akar 2 X min X kuadrat dx.

Ini fungsi satu pahubah tapi membuat akar dua-duanya.

Menurut saya ini benar-benar tidak menyenangkan untuk melakukan itu.

Oleh karena itu mengapa tidak mari kita coba menggunakan koordinat polar untuk menyelesaikan soal ini.

Sama seperti tadi yang harus kita lakukan adalah menggambarkan daerah integrasinya.

Perhatikan fungsinya adalah Y sama dengan akar dari 2 X dikurangi X kuadrat.

Hilangkan akar kita punya Y kuadrat sama dengan 2 X dikurangi X kuadrat.

Ini masih tetap belum terlalu menyenangkan.

Tapi lihat saya bisa bawa ke sini saya punya X kuadrat kurang 2 X plus Y kuadrat sama dengan 0.

Dan kalau saya selipkan 1 di sini maka di sini juga jadi 1.

Dan ini dapat saya sederhanakan menjadi X min 1 kuadrat plus Y kuadrat sama dengan 1.

Jadi ini tidak lain adalah persamaan lingkaran yang berpusat di 1,0 dengan jari-jari 1.

Jadi saya punya titik di sini 1,0 dengan jari-jari 1.

Sehingga saya punya lingkaran berbentuk seperti ini.

Dan karena akarnya adalah yang positif berarti yang saya ambil hanya penggal yang atasnya.

Batas yang kedua adalah Y sama dengan akar dari 4 min X kuadrat.

Ini jauh lebih sederhana kalau saya kuadratkan saya dapat 4 min X kuadrat.

Sehingga saya dapatkan X kuadrat ditambah Y kuadrat sama dengan 4.

Atau dia adalah lingkaran yang berjari-jari 2.

Berarti kalau ini 1 di sini 2 berarti lingkaran berjari-jari ini.

Tapi perhatikan mau sampai ke sana untuk itu.

Perhatikan bahwa X nya sekarang hanya dari 0 sampai 2.

Dari 0 sampai 2 berarti daerah yang dimaksud adalah daerah yang ini.

Kalau menggunakan koordinat polar berarti kita akan hitung double integral.

Dan seperti biasa kita akan menarik garis sejajar dengan sumbu R.

Dan untuk ini saya gambar beberapa garis.

Beberapa garis supaya Anda bisa lihat bahwa di daerah manapun.

Tetap pertama kali memotong itu di daerah sini.

Kemudian kedua kali memotong baru di daerah yang ini.

Nah tadi kita sudah punya tuh bahwa yang ini itu kan tidak lain adalah X kurang 1 kuadrat.

Tetapi untuk keperluan perhitungan R ini tidak menyenangkan.

Jadi kita buka lagi kurungnya untuk dapatkan X kuadrat minus 2 X plus 1.

Dan 1 habis plus Y kuadrat sama dengan 0.

Nah di sini kita bisa memanfaatkan informasi kita untuk koordinat polar.

X kuadrat tambah Y kuadrat itu adalah R kuadrat.

Jadi di sini batasnya yang pertama adalah R sama dengan 2 cos theta.

Berarti di sini saya masukkan 2 cos theta.

Dan daerah berikutnya yang harus kita batas integrasinya yang di luar sini.

Sudutnya untuk mendapatkan seluruh daerah kita harus memutar dari 0.

Integral ini mungkin memang terlihat tidak terlalu sulit.

R kuadrat tentunya ini menjadi setengah R kuadrat.

Kalau saya substitusikan 2 saya dapatkan di sini 4 kali setengah 2.

Dan ini bisa saya ubah menjadi seperti ini.

Jadi sama dengan integral dari 0 sampai pi per 2.

Integral sin kuadrat kita sudah bisa menghitungnya.

Itu adalah 1 dikurangi dengan 2 sin kuadrat theta.

Maka sin kuadrat theta dapat kita hitung sebagai.

Sin kuadrat theta dapat kita hitung sebagai.

Jadi saya bisa hitung ini adalah 2 dikali dengan integral setengah.