Name: Konvergen vs Divergen
Uploaded: 2023-02-25

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep konvergensi dan divergensi dalam barisan dan deret matematika. Konvergensi terjadi ketika suatu barisan bilangan real mendekati sebuah nilai tertentu secara terus-menerus, sedangkan divergensi terjadi ketika barisan tersebut tidak memiliki nilai konvergen. Dalam kasus deret geometri, jika rasio R berada antara 0 dan 1, maka deret tersebut konvergen menuju nilai A per 1 min R. Penentuan titik konvergensi dalam suatu barisan bisa menjadi rumit, terutama ketika berhadapan dengan deret.

Ada satu bentuk di dalam deret geometri ini yang sangat menarik yaitu R pangkat N.

Nah dari teori tentang limit kita tahu bahwa limit N menuju tahingga dari R pangkat N

Pada dasarnya benda ini adalah limit N menuju tahingga dari R kali R kali R kali R sampai N kali.

Nah bayangkan kalau R nya itu lebih kecil dari 1.

Jadi saya punya sesuatu yang lebih kecil dari 1 saya kalikan dengan sesuatu yang lebih kecil dari 1 dia makin kecil.

Dikalikan lagi dengan sesuatu yang lebih kecil dari 1 akan makin kecil lagi dan seterusnya sampai N kali.

Jadi benda ini akan menjadi sangat-sangat kecil.

Sehingga kalau N menuju tahingga untuk R yang lebih kecil 1 dia akan menuju ke 0.

Kalau R nya terletak antara 1 dan tentunya seperti ini.

Sedangkan kalau R nya lebih besar dari 1 kita akan punya sesuatu yang lebih besar dari 1

dikalikan makin besar maka perkalian ini akan menjadi tahingga.

Dan kalau R nya sama dengan 1 tentu dia akan terus 1 sepanjang jalan.

Nah dari bentuk ini kita dapat menduga bahwa kita bisa punya 2 kemungkinan di sini juga.

Yang pertama kalau R nya lebih kecil dari 1 dan antara 0 maka R N ini akan menuju ke 0.

Saya dapatkan disini menjadi A per 1 min R dan inilah yang biasa kita kenal sebagai S tahingga.

Sedangkan kalau R nya menuju tahingga atau 1 kalau dia sama dengan 1 kita lihat disini akan ada masalah.

Tapi kita abaikan dulu ini anggap R nya tidak sama dengan 1.

Jangan lupa bahwa benda ini didapat dari 1 plus R plus R kuadrat dan selanjutnya.

R pangkat 3 juga 1 R pangkat 4 juga 1 berarti ini kurang lebih sama dengan 1 plus 1 plus 1 plus 1 N kali.

Jadi saya akan punya 2 hal disini bahwa kalau R nya terletak antara 0 dan 1

maka jumlahan deret geometri ini akan sampai ke A min R atau ke S tahingganya.

Sedangkan kalau R nya lebih besar atau sama dengan 1 dia akan menuju ke tahingga.

Nah dalam kasus dia menuju ke sebuah bilangan seperti ini kita katakan deret atau barisan tersebut konvergen.

Sedangkan kalau menuju ke tahingga kita katakan disini divergen.

Jadi apa artinya sebuah barisan bilangan real itu konvergen?

Barisan bilangan real XN itu kita katakan konvergen ke X.

Oke ke sebuah bilangan real X anggota real ini gitu ya.

Itu berlaku jika lagi-lagi kita punya bahasa dewa ini untuk setiap epsilon positif

selalu dapat ditentukan selalu ada bilangan asli N anggota bilangan asli.

Sehingga jika N lebih besar dari N besar maka berlaku dalam hal ini jarak antara XN dengan X

Jadi bahasa ini sama dengan mengatakan bahwa saya dapat membuat memilih epsilon sekecil apapun

selalu akan ada N tentunya semakin kecil epsilon N ini akan menjadi semakin besar.

Sehingga mulai dari sebuah indeks N ini XN dikurangi dengan X akan selalu lebih kecil dari epsilon.

Artinya XN akan selalu mendekat ke X gitu.

Jadi kalau saya lihat ini barisan bilangan real disini X maka si XN nya itu seperti makin lama makin dekat ke sini.

Mungkin ngelewatin dulu atau gitu seperti itu makin lama makin dekat ke sana.

Nah ada dua hal disini yang sangat penting untuk dicatat.

Yang pertama adalah konvergensi, yang kedua titik kemana dia konvergennya.

Bahwa definisi ini membutuhkan bahwa dia mengatakan bahwa dia konvergen.

Dalam kasus ini barisan geometri kita dapat katakan bahwa kalau R terletak antara 0 dan 1 dia konvergen.

Dan konvergennya kebilangan A per 1 min R.

Divergen gak ada cerita udah langsung divergen aja.

Tetapi untuk konvergensi ada dua hal disini.

Pertama memperlihatkan atau menentukan syarat agar dia konvergen.

Syaratnya disini adalah 0 terletak antara 0 dan 1 rasionya.

Sedangkan titik konvergensinya adalah A per 1 min R.

Nah secara umum ketiap kali kita punya sebuah barisan yang sebarang.

Mungkin mudah untuk menunjukkan apakah dia konvergen atau tidak.

Tetapi menentukan titik konvergensinya itu bisa menjadi sebuah permasalahan yang sangat rumit.

Apalagi kalau kita berhadapan bukan dengan barisan tetapi dengan deret.

Kalau saya punya sebuah barisan kemudian saya bentuk deret di dalamnya

maka menentukan kemana deret tersebut konvergen seringkali bukan perkara yang mudah.