Name: Deret Pangkat dari Sinus & Cosinus
Uploaded: 2023-02-27

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas deret pangkat dari sinus dan cosinus dengan memperhatikan pola suku-suku ganjilnya. Melalui turunan, kita dapat mengaitkan deret tersebut dengan fungsi sinus dan cosinus. Ditemukan bahwa turunan kedua dari fungsi tersebut saling berhubungan dengan fungsi aslinya, yaitu sinus x dan cosinus x. Hal menariknya adalah cara menghitung limit menggunakan teorema L'Hopital dengan melakukan turunan minimal 2 kali. Ini menggambarkan keterkaitan antara deret dan turunannya, serta kemungkinan menuliskan deret dari fungsi sembarang.

Mari kita lihat sekarang sebuah deret lain yang tidak kalah menariknya dari deret e pangkat x tadi.

Yaitu x dikurangi dengan 1 per 3 faktorial x pangkat 3 plus 1 per 5 faktorial x pangkat 5 min dan seterusnya.

Jadi ini persis seperti deret yang di atas ini namun hanya suku-suku ganjilnya yang muncul.

Suku x pangkat 1, x pangkat 3, x pangkat 5 dan tandanya berganti-ganti plus, min, plus, min, plus, min seperti itu.

Kita ingin tahu deret apa ini? Kita tulis ini sebagai Sx terinspirasi oleh kesuksesan kita dalam menghitung deret e pangkat x ini.

Kita mau coba tahu sekarang kalau S aksen x itu apa?

S aksen x kalau kita hitung ini hasilnya adalah 1 dikurangi jadi 1 per 2 faktorial x kuadrat

dan ini plus 1 per 4 faktorial x pangkat 4 min dan seterusnya.

Sayangnya deret ini tidak sama dengan deret sebelumnya, tidak seperti ini.

Tapi jangan khawatir mari kita coba turunkan kembali 2 kali sehingga kita dapatkan turunan ini adalah minus x kalau kita turunkan.

Dan ini turunannya adalah plus 1 per 3 faktorial x pangkat 3 dan ada suku berikutnya nanti kita akan dapatkan 1 per 5 faktorial x pangkat 5.

Karena suku berikutnya adalah x pangkat 6 disini kan dan seterusnya.

Ini adalah S aksen x nya dan kalau kita perhatikan S aksen x ini kita bisa tulis ini sebagai minus dari x min 1 per 3 faktorial x pangkat 3 plus 1 per 5 faktorial x pangkat 5 min dan seterusnya ini adalah S aksen x.

Jadi kita sedang melihat bahwa S aksen x ini memenuhi S double aksen x adalah S aksen x tapi negatif.

Jadi kita bertanya fungsi apa yang kalau kita turunkan 2 kali hasilnya adalah dirinya sendiri.

Oh itu fungsi sines, sines x kalau kita turunkan 2 kali hasilnya adalah sines x minusnya.

Demikian juga dengan cosines x, cosines x kalau kita turunkan 2 kali hasilnya adalah dirinya sendiri tapi negatifnya.

Jadi jawaban untuk soal S untuk S aksen x ini adalah entah sines x atau cosines x.

Lalu kita tau yang mana yang benar apakah S aksen x itu sama dengan cos x atau S aksen x itu sama dengan sines x.

Mari kita periksa kalau S aksen x itu adalah cos x berarti S 0 harusnya adalah 1.

Tetapi kalau kita substitusi ke sini kita lihat bahwa S 0 adalah sin 0 0 oke berarti sines x adalah ini.

Jadi kalau kita mau tau sekarang apa urayan untuk jadi kita bisa ganti ya jadi kita tau sekarang bahwa sines x

itu seharusnya dapat kita tulis menjadi 3 factorial x pangkat 3 plus 5 factorial x pangkat 5 dan seterusnya.

Kalau begitu bagaimana urayan untuk cosines x?

Well urayan untuk cosines x adalah turunan dari sines x jadi S aksen x inilah urayan untuk cosines nya.

1 per 2 factorial x kuadrat plus 1 per 4 factorial x pangkat 4 dan seterusnya.

Nah oke mari kita lihat sekarang sines x.

Kita lihat sines x seperti ini jadi saya bisa menghitung sines x dikurangi x.

Tentu dia adalah minus 1 per 3 factorial x pangkat 3 plus 1 per 5 factorial x pangkat 5 tambah titik-titik seperti itu.

Lalu saya bisa membagi ini dengan x pangkat 3 kalau saya bagi ini dengan x pangkat 3 maka di sini hilang.

Kemudian ini menjadi pangkat 2 dan kalau saya buat x menuju 0 maka ini akan hilang.

Jadi saya punya limit x menuju 0 dari sine x kurang x dibagi x pangkat 3 adalah minus 1 per 3 factorial.

Tidak lain adalah minus 1 per 6 yang sudah kita hitung dengan menggunakan lopital

dan juga sudah kita hitung dengan menggunakan teknik aljabar seperti waktu kita mendiskusikan soal limit.

Yang menarik di sini adalah ternyata untuk menghitung limit ini limit x menuju 0 dari ini

Kita bisa dapatkan dengan cara seperti ini juga walaupun cara ini tentu lebih mahal karena sangat merepotkan.

Tapi moral of the story yang menurut saya sangat menarik untuk kita bahas di sini adalah apa?

Bagaimana cara kita menghitung limit ini dengan menggunakan teorema lopital?

Kita akan melakukan turunan at least 2 kali untuk bisa mendapatkan ini.

Turunan 3 kali untuk bisa mendapatkan nilai limitnya.

Jadi kurang lebih ini berkaitan dengan turunan pangkat 3, turunan ketiga dari sine x ini.

Jangan-jangan kita mempunyai sebuah kaitan yang besar antara fungsi yang menyatakan titik konvergensi

atau arah yang konvergensi dari deret ini dengan turunannya.

Pertanyaannya sekarang adalah kalau saya berikan fungsi sebarang fx seperti ini