Name: Operasi Deret Pangkat: Integrasi & Diferensiasi
Uploaded: 2023-02-27

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas operasi deret pangkat dalam integrasi dan diferensiasi. Deret seperti 1+x+x kuadrat per 2 faktorial adalah representasi dari fungsi e pangkat x. Proses diferensiasi terhadap deret tersebut memungkinkan untuk menghitung turunannya satu per satu. Selain itu, integrasi dari deret tersebut juga dapat dilakukan suku demi suku. Dengan melakukan diferensiasi atau integrasi pada deret yang ada, kita dapat memperoleh deret baru. Daerah kekonvergenan dari deret tersebut tetap sama seperti deret asalnya.

Kita telah melihat tadi bahwa kalau kita mempunyai deret yang berbentuk 1 plus x plus x kuadrat per 2 faktorial

plus x pangkat 3 per 3 faktorial dan seterusnya

dia merupakan representasi dari sebuah fungsi yaitu e pangkat x.

Dan deret geometri seperti ini dia merupakan representasi dari sebuah fungsi yaitu 1 dibagi dengan 1 min x.

Kalau di dalam contoh yang pertama x nya boleh sebarang bilangan real

kalau di dalam sini kita punya x nya harus terletak di antara min 1 dan 1.

Nah ketika kita menurunkan bahwa fungsi ini adalah e pangkat x,

deret tersebut menyatakan e pangkat x, kita melakukan diferensiasi terhadap deretnya.

Pertanyaannya adalah mengapa boleh dilakukan?

Sayangnya konsep ini cukup berat di dalam matematical analysis

jadi saya tidak akan membahas ini untuk keperluan kita

tetapi saya akan memberikan hasilnya, memberikan sebuah teorema di sini

bahwa jika Sx itu dapat dituliskan menjadi sebuah deret pangkat

dari ini sampai An dikali dengan x pangkat n misalkan seperti itu

maka dan x nya berada di dalam sebuah interval I yang kita sebut daerah kekonvergenan

maka di dalam, maka untuk setiap x yang berada di dalam I tetapi titik interiornya

jadi kalau di batas-batasnya kita masih harus cek boleh atau tidaknya

tetapi kalau di dalam interval I nya, di dalam, di titik dalamnya

jadi ini untuk sementara saya ambil dulu A, B sebagai titik dalamnya

atau ini aja langsung minus R sampai R seperti itu untuk R yang positif

maka untuk setiap x yang di dalam I itu S aksen X

itu dapat dilakukan dengan cara menghitung turunannya satu demi satu

jadi ini adalah n dikali dengan x pangkat n-1

kita dapat melakukan seperti itu, diturunkan suku demi sukunya

demikian juga untuk integralnya, integralnya pun dapat kita lakukan untuk suku demi suku

jadi untuk menghitung S besar X, integral dari Sx kita dapat menintegralkan deretnya

jadi turunan dapat dilakukan kemudian integral juga dapat dilakukan

kalau saya mau menghitung sekarang integral dari 1 per 1-x dx ini apa?

nah berdasarkan teori kita disini kita tahu bahwa ini harusnya memberikan kepada kita

dengan catatan disini x nya harus terletak antara, well memang di antara itu ya

jadi ada di dalam I yang ini nih di antara minus 1 sampai 1

berarti kita tahu bahwa suku ini nya positif jadi nggak perlu harga mutlak

nah kalau kita mau tahu ini padahal kita tahu bahwa deretnya tuh seperti ini

jadi seakan-akan integral ini deret ini pun dapat kita lakukan dengan menghitung integral ini

jadi 1 kalau diintegralkan hasilnya adalah x

kemudian x kalau kita integralkan hasilnya adalah setengah x kuadrat

x kuadrat kalau kita integralkan menjadi 1 per 3 x pangkat 3

kemudian 1 per 4 x pangkat 4 plus dan seterusnya

nah kita punya hubungan ini nih bahwa logaritma natural ini sama dengan ini

saya tulis disini ya jadi ini sama dengan x ditambah setengah x kuadrat

ditambah 1 per 3 x pangkat 3 tambah 1 per 4 x pangkat 4 dan seterusnya

nah kita dapat memainkan lagi ini misalkan sekarang kita ganti min x dengan min x

kita ganti x dengan min x maka saya punya logaritma natural dari 1 minus min x

dengan kata lain sama saja dengan mengganti x dengan min x

berarti saya punya disini minus x plus setengah x kuadrat

min 1 per 3 x pangkat 3 plus 1 per 4 x pangkat 4 min dan seterusnya

dan dengan dikali dengan min 1 maka saya dapatkan logaritma dari 1 plus x

itu adalah x min setengah x kuadrat plus 1 per 3 x pangkat 3 min 1 per 4 x pangkat 4 plus dan seterusnya

jadi dari deret yang lama dengan melakukan turunan atau integral kita bisa dapatkan deret yang lain

kalau kita misalkan pakai turunan untuk menghitung turunan ini

turunan dari 1 per 1 min x itu adalah 1 per 1 min x kuadrat turunannya

kemudian dikali dengan turunan dari tentu saja ini kan 1 min x pangkat min 1

kemudian dikali dengan turunan min x plus 1 berarti jadi plus seperti itu

nah ini kita dapatkan bahwa deret ini pun dapat kita lihat dengan menurunkan suku demi suku dari deret ini

jadi 1 diturunkan 0 x diturunkan 1 ini diturunkan 2x ini diturunkan plus 3x plus 4x plus 5x

sorry x ini 3x kuadrat 3 ini 4 dan seterusnya maka ini adalah deret yang sama

bagaimana dengan daerah kekonvergenannya?

karena daerah kekonvergenannya tidak berubah yaitu tetap berada di dalam daerah kekonvergenan deret asalnya yang seperti itu

jadi dari deret yang lama kita dapat mengalikan atau mengurangkan dengan deret

kita dapat menurunkan atau mengintegralkan deret tersebut untuk membentuk deret yang baru