Name: Uji Integral untuk Cek Kekonvergenan Deret Positif
Uploaded: 2023-02-25

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas uji integral untuk mengecek kekonvergenan deret positif. Jika limit an menuju takhingga tidak sama dengan 0, maka sigma n pasti divergen. Sebaliknya, jika sigma dari 1 sampai n an konvergen, maka limit an harus 0. Teknik uji integral digunakan untuk memeriksa kekonvergenan sebuah deret, di mana integral konvergen mengindikasikan konvergensi deret tersebut. Jadi, integral konvergen menandakan konvergensi deretnya.

Kita simpan hasil diskusi kita tadi di pojok kanan ini sebagai sebuah tulisan berwarna biru ini.

Jadi jika limit n menuju tahingga dari an itu tidak sama dengan 0 maka sigma n itu pasti divergen.

Dan tentu saja kita punya kebalikannya yaitu kalau sigma dari 1 sampai n an itu convergen

maka limit ini harus 0, limit an nya harus 0.

Tapi kalau limit an nya sama dengan 0 belum tentu kita belum dapat menunjukkan bahwa dia convergen atau tidak.

Nah sekarang kita akan melihat teknik lain untuk meriksa apakah sebuah barisan itu convergen atau tidak.

Pertama kalau dia tidak 0 sudah pasti divergen.

Jadi dengan kata lain saya tidak perlu memusingkan bagian yang limitnya tidak 0.

Baik misalkan saya punya sebuah fungsi yang berbentuk seperti ini.

Perhatikan limitnya sudah menuju ke 0 seperti itu.

Nah ini fungsi berarti untuk setiap x nilainya ada.

Nah sekarang saya mengambil sebuah titik-titik tertentu disini.

Disini 1, disini 2, disini 3, disini 4, 5, 6, 7, 8 dan seterusnya.

Lalu saya menarik ini, kotak ini, kotak ini, kotak ini dan seterusnya.

Perhatikan bahwa kalau saya menghitung luasan dari area yang saya arsir.

Maka luasan yang saya arsir ini itu tidak lain adalah sigma dari 1 sampai tahingga dari F1.

Luasan ini tidak lain adalah F1 x 1 ditambah dengan F2 x 1 ditambah dengan F3 x 1 dan seterusnya.

Jadi jumlahan ini itu tidak lain adalah sigma dari 1 sampai tahingga Fn.

Dan besarnya itu berada di bawah luasan ini.

Karena luasan yang merah itu tidak melibatkan ini, besaran-besaran yang ini.

Jadi kalau saya arsiran biru ini, ini memuat semuanya.

Jadi semuanya itu pasti akan lebih besar dari integral dari 0 sampai tahingga Fx dx.

Perhatikan ini adalah sebuah deret dan ini adalah fungsi integralnya.

Jadi kita lihat disini bahwa ini besarnya selalu lebih kecil daripada ini.

Kalau yang ini saja konvergen maka yang ini pasti konvergen karena dia monotonaik seperti itu.

Sebaliknya saya dapat menggunakan gambar yang sama tetapi saya pindahkan ke ujung sini.

Maka sekarang yang saya dapatkan adalah apa?

Sigma dari 1 sampai tahingga dari Fn ini lebih besar dari integral dari 1 sampai tahingga Fx dx.

Jadi kita lihat bahwa integral ini itu dapat saya gunakan untuk menghampiri dari bawah,

lebih kecil dari ini atau menghampiri dari atas lebih besar dari ini.

Dengan demikian kita dapat simpulkan bahwa sigma Fn itu konvergen jika dan hanya jika integral ini konvergen.

Jadi kalau saya punya integralnya konvergen maka pasti deretnya konvergen.