Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep Level Set atau Plot Kontur dalam Kalkulus 2, dengan mengilustrasikan penggunaan set nilai konstan Z pada fungsi dalam ruang berdimensi n. Dengan mengiris bidang fungsi dengan bidang konstan Z, kita dapat membentuk keluarga ellipse yang merepresentasikan nilai-nilai fungsi konstan. Contour plot ini memperlihatkan bahwa setiap titik dalam plot memiliki nilai fungsi F yang konstan, seperti contoh ellipse-ellipse yang semakin tinggi mewakili nilai fungsi yang semakin besar. Dengan melihat contour plot, kita dapat memahami karakteristik fungsi di dalamnya, di mana setiap level set merepresentasikan nilai fungsi konstan pada bidang yang bersangkutan.

Untuk keperluan ilustrasi grafik yang tadi saya perbaiki menjadi gambarnya seperti ini.

Ini masih merupakan grafik dari fungsi yang sama dengan yang kita bahas tadi.

Saya ingin mengajak sekarang kita melihat sebuah set yang khusus

yaitu misalkan kita lihat disini ini setnya disini nilainya Z sama dengan 6 tentunya.

Nah maka saya punya 3 titik lagi disini yaitu 1, 2, 3, 4, dan 5.

Misalkan seperti itu saya punya 6 buah titik disini 1, 2, 3, 4, 5.

Kemudian bayangkan sekarang saya punya sebuah bidang yaitu Z sama dengan 1

atau Z sama dengan 2 yang gampang, Z sama dengan 2 disini.

Nah bidang itu adalah bidang datar Z sama dengan 2 yang sejajar dengan bidang yang bawah Z sama dengan 0 dibawah sini.

Jadi kalau saya tarik bidang tersebut saya iris bidang ini dengan kurva ini permukaan ini saya iris dengan bidang tersebut

maka irisannya akan menjadi kira-kira titik potongnya disana, disana, dan disana.

Maka saya akan dapatkan sebuah bentuk yang kurang lebih seperti itu.

Dan pada setiap titik saya dapat lakukan yang sama untuk mendapatkan set yang sama seperti itu.

Dan saya bisa turunkan ini saya taruh di sumbu bawah sehingga saya dapatkan keluarga ellipse yang berbentuk seperti itu.

Nah jadi kalau sekarang saya lupakan grafik semuanya itu saya hanya melihatnya di dalam koordinat 2 dimensi X dan Y.

Maka apa yang bisa saya lakukan tadi saya melihat persamaan ini kemudian saya mengirisnya dengan bidang

Kalau saya iris dengan bidang Z sama dengan 1 maka saya dapatkan setnya harus 1 sama dengan 6

dikurangi dengan X kuadrat dikurangi dengan 3 Y kuadrat.

Dan kalau saya sederhanakan bentuk ini dia tidak lain adalah X kuadrat plus 3 Y kuadrat sama dengan 5.

Dan kita kenali ini sebagai persamaan untuk ellipse.

Jadi saya akan dapatkan bahwa untuk set sama dengan 1 saya punya sebuah ellipse di sini.

Ellipsenya mungkin agak besar seperti itu.

Dan kemudian kalau Z nya ini untuk Z sama dengan 1 kalau saya ubah Z nya menjadi 2

maka saya ubah persamanya menjadi 2 sama dengan 6 minus X kuadrat minus 3 Y kuadrat.

Jadi dari sini saya dapatkan ellipse yang berikutnya adalah 3 Y kuadrat sama dengan 4.

Jadi saya dapatkan ellipse yang lain lagi yang lebih kecil yang ada di dalam sini seperti itu.

Dan kalau saya ganti lagi dengan set yang lebih tinggi saya dapatkan kurang lebih keluarga-keluarga ellipse yang seperti itu.

Nah ini adalah apa yang kita namakan dengan level set atau apa yang kita kenal dengan nama contour plot.

Jadi pada setiap titik di sini untuk setiap titik di sini nilai fungsi F ini bernilai konstan.

Contohnya yang di sini nilainya adalah F X, Y sama dengan 1.

Dan yang di sini itu adalah F X, Y sama dengan 2.

Dan yang di sini adalah F X, Y sama dengan K yang lebih besar dari 2 seperti itu dan seterusnya ke sana.

Jadi kita seperti melihat bahwa ini adalah sebuah ellipse-ellipse yang disusun semakin lama semakin tinggi.

Dan puncaknya ini adalah untuk Z sama dengan 6.

Jadi ini berkorespondensi dengan lingkaran yang biru yang ini.

Kemudian ini dengan level berikutnya dan level berikutnya.

Jadi dari membaca contour plot ini kita bisa mengetahui kira-kira kita bisa punya fungsi yang seperti apa di sininya.