Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konstruksi dan perhitungan luas dari cardioid dengan integral lipat. Dengan memahami simetri kardioid, luas bagian atas dan bawahnya sama. Melalui perubahan koordinat polar, integral dx dy menjadi R dr d theta. Batas integrasi untuk R adalah 0 sampai 1 plus cosinus theta, dan untuk sudut adalah dari 0 sampai pi. Hasil perhitungan integral menunjukkan luas dari cardioid tersebut dengan menggunakan substitusi yang tepat.

Dari konstruksi kita tadi saya sudah perlihatkan bagaimana kita bisa mengkonstruksi kardioid ini dengan menggunakan persamaan yang seperti ini.

Namun tentunya tadi Anda melihat bahwa saya mengkonstruksi kardioid ini hanya bagian atasnya.

Untuk teta sama dengan 0, kemudian pi per 4, pi per 2, kemudian 3 per 4 pi, dan pi seperti itu.

Lalu kemudian bagian bawahnya saya seperti memberi sebuah fitnah, langsung saya gambarkan saja begitu saja.

Pertanyaannya dari mana itu? Kenapa saya gambarnya merupakan mirror image dari bagian atasnya?

Jawabannya adalah karena kita tahu cosinus sudut pada kawadran 1 dan kawadran 4 sama dan kawadran 2 dengan kawadran 3 sama.

Oleh karena itu grafik yang saya dapatkan di atas itu akan sama dengan grafik yang saya dapatkan di bawah.

Jadi penggal yang atas ini akan sama dengan penggal yang di atas ini.

Dan dari sini kita juga tahu apa, kalau kita sekarang mau menghitung luas dari daerah ini.

Berarti pada dasarnya saya cukup menghitung luas sebagian, luas yang ini saja.

Kalau saya sudah bisa menghitung luas ini, saya tinggal kali dua maka saya dapatkan luas dari kardioid ini.

Jadi saya akan menghitung ini, kalau ini saya sebutkan sebagai daerah R besar,

maka saya akan menghitung double integral dari daerah R besar yang ini dari dx dy.

Kalau gitu saya harus punya ekspresinya di dalam x dan y dong?

Tapi saya tahu ini dan kemudian untuk mendapatkan luas dari kardioid semuanya saya kali dengan dua.

Nah, karena ekspresinya semua di dalam polar maka saya akan menuliskan integral ini di dalam bentuk koordinat polar.

Berarti dx dy akan saya ganti menjadi R dr d theta.

Dan seperti biasa saya akan menarik garis sejajar dengan sumbu R berarti dari titik 0,0 keluar.

Nah, Anda bisa lihat bahwa siapapun yang di dalam dikwadran pertama ini

itu akan memotong pertama kali di 0 dan kedua kali pada kardioid ini.

Di sini sama juga, di sini potongnya di kardioid ini dan di sini pun juga demikian.

Karena kardioid yang di sini itu seperti menyinggung kardioid ini.

Jadi dengan demikian benar-benar kardioid ini dipotong untuk R pertama kali di R sama dengan 0,

Berarti batas integrasi untuk R adalah 0 sampai 1 plus cosinus theta.

Sekarang kita tinggal melihat sudutnya, sudutnya adalah dari 0 sampai pi.

Kalau saya bisa menghitung integral ini maka pada dasarnya saya dapat mendapatkan luas dari kardioidnya.

Untuk itu saya hitung integral dari R adalah setengah R kuadrat dari 0 sampai 1 plus cosinus theta d theta.

Dan ini sama dengan, well dua kali ini bisa hilang.

Jadi saya dapatkan integral dari 0 sampai pi dari 1 plus cos theta kuadrat kurangi 0 d theta.

Dapat saya hitung menjadi 0 sampai pi dari 1 plus 2 cosinus theta plus cosinus kuadrat theta d theta.

Ini tentu saja integralnya mudah, ini integralnya juga tidak sulit, ini integralnya lumayan.

Tapi kita bisa menggunakan substitusi bahwa cos kuadrat theta diganti dengan 1 plus cosinus 2 theta per 2.

Dan dengan mikian saya dapatkan berapa luas dari kardioid tersebut.