Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas syarat minimum dan maksimum fungsi dua peubah dalam kalkulus 2, khususnya pada turunan di ruang berdimensi n. Analisis dilakukan terhadap nilai H yang dipengaruhi oleh A dan besaran lainnya. Dalam beberapa kasus, terdapat kondisi di mana H lebih besar sama dengan 0 atau lebih kecil sama dengan 0, yang menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi. Penjelasan juga diberikan mengenai titik pelana yang merupakan titik di mana fungsi memiliki nilai minimum dan maksimum sekaligus, memberikan gambaran geometri yang menarik dalam analisis fungsi dua peubah.

Tugas kita sekarang tinggallah menganalisa apa yang terjadi dengan nilai H ini.

Well, kita perhatikan bahwa ini adalah sesuatu yang kuadratik, jadi tidak pernah negatif.

Ini juga adalah sesuatu yang kuadratik, jadi tidak pernah negatif.

Berarti nilai dari H ini, tandanya plus atau minnya, negatif atau positifnya

benar-benar ditentukan oleh A dan oleh besaran ini.

Ya, oleh A dan oleh besaran ini, AC min B kuadrat.

Beberapa kasus, yang pertama kalau A positif dan AC min B kuadrat juga positif.

Kalau ini yang terjadi, maka ini positif kali dengan sesuatu yang tidak pernah negatif,

Ini positif dibagi positif, akan tetap positif, dikali dengan sesuatu yang nonegatif,

Nonegatif tambah nonegatif, tetap nonegatif.

Kasus yang kedua, kalau A negatif tetapi AC dikurangi B kuadrat tetap positif,

Kalau ini negatif, ini menjadi nonpositif, ini.

Karena ini nonegatif, dikali dengan yang negatif berarti jadi nonpositif, tidak bisa positif.

Ini positif tapi dibagi dengan sesuatu yang negatif, jadi ini negatif.

Nonpositif ditambah nonpositif, maka saya punya di sini H lebih kecil sama dengan 0.

Nah sekarang apa yang terjadi, kalau A positif tetapi AC min B kuadrat itu negatif.

Berarti yang di sini itu positif, nonegatif, yang di sini itu selalu nonpositif.

Jadi H ini seperti ada bagian yang plus, lalu ada bagian yang minusnya.

Ini menjadi tanda tanya, apa yang harus kita lakukan di sini.

Demikian juga kalau kita balik kondisinya,

A nya negatif kalau kita ganti A nya negatif dan AC min B kuadrat lebih kecil dari 0.

Kalau negatif berarti ini negatif, yang ini akan jadi nonpositif.

Jadi H nya akan punya sebagian yang negatif lalu sebagian lagi yang positif.

Jadi dengan kata lain yang nomor 3 dan nomor 4 itu sama aja.

A nya tidak penting, yang ditentukan adalah ini.

Jadi kasus yang nomor 3 dan 4 dapat saya gabung dan A nya tidak ngaruh.

Berarti saya tinggal melihat kasus yang ketiga,

kalau AC dikurangi B kuadrat negatif ini seperti apa?

Saya belum bisa diskusikan bentuknya seperti apa sekarang ini.

Yang 1 dan 2 jelas H nya positif, yang 2 H nya negatif.

Artinya nilai Fx itu adalah F0 ditambah sesuatu yang positif.

Berarti di sekitar 0 nilainya akan membesar seperti itu.

Berarti ini berkorespondensi dengan 0 adalah minima.

Sebab H nya positif, jadi nilainya akan lebih besar.

Ingat yang tadi tuh, ini 0 nilainya lalu selalu lebih besar seperti itu.

Jadi dia adalah nilai minimum kira-kira seperti itu.

Sedangkan kalau H nya negatif maka ini akan menghasilkan 0 adalah maksima.

Yang menjadi PR sekarang bagaimana kalau AC min B kuadrat ini lebih kecil dari 0?

Oke mungkin kita harus sedikit membayangkan geometri dari persoalan ini.

Bayangkan ini adalah X plus B per A kali Y itu mendefinisikan

kalau saya punya sumbu X sumbu Y seperti itu.

Dia akan mendefinisikan sebuah garis yang melalui 0,0.

Entah di mana garisnya, sembarangan aja gambarnya seperti itu.

Nah kalau kasusnya seperti ini entah pada arah ini H selalu negatif,

Jadi pada arah ini, pada arah yang ini, yang kuning nilai F itu kurang lebih seperti

kalau saya boleh gambarkan di sini nilai F nya adalah F0,

tapi H nya selalu negatif berarti akan jadi seperti ini.

Akan ada satu direction di mana F minimum di situ.

Sedangkan di sini untuk Y nya ini akan positif berarti kalau saya gambar arah lainnya

seperti itu pada arah ini nilai F nya malah seperti ini.

Jadi kita bisa bayangkan ya, ada satu arah di mana F nya begini,

shape nya seperti ini, ada satu arah di mana shape nya seperti itu.

Lihat, ada satu arah di mana Y nya seperti ini,

lalu ada satu arah lagi di mana Y nya seperti ini.

Jadi kurang lebih kita seperti mempunyai pada arah ini dia minimum,

Dan ini yang kita kenal dengan nama titik pelana.

Ini kalau di fungsi satu peubah hampir, saya tidak bilang sama,

tapi hampir sama dengan di sebelah kiri minimum, di sebelah kanan maksimum.

tetapi dalam kasus ini kita tidak terlalu tahu apa yang di sini.

Ini yang dimaksud dengan titik pelana, seperti itu.

bentuknya akan jadi sangat menarik dalam hal ini.