Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas paradoks Hotel Hilbert yang melibatkan konsep himpunan tak berhingga. Dengan menggunakan pemetaan satu-satu, kardinalitas himpunan bilangan asli N dapat diatur sama dengan himpunan bilangan bulat Z. Selain itu, melalui bijeksi, kardinalitas himpunan bilangan rasional Q juga setara dengan kardinalitas N. Meskipun Z dan Q jauh lebih besar dari N, namun semuanya memiliki kardinalitas yang sama. Pertanyaannya, apakah terdapat himpunan tak berhingga lain yang lebih besar dari kardinalitas bilangan rasional atau bilangan asli?

Paradoks Hotel Hilbert, sebuah paradoks yang sangat menarik sekali.

Bagaimana kita punya sebuah tak berhingga banyaknya tempat yang bisa saja terisi penuh,

tapi tetap dapat dilakukan operasi untuk mengosongkan tak berhingga banyaknya tempat diantaranya.

Bahkan beberapa kali tak berhingga buah banyaknya tempat diantaranya.

Jadi apakah dengan terinspirasi oleh kesuksesan kita tadi,

kita bisa melakukan lebih banyak permainan dengan cara seperti itu.

Bayangkan tadi kita punya bilangan asli N.

Ternyata dia dapat kita buat sama banyaknya, ukurannya sama banyaknya,

dengan bilangan-bilangan ganjil seperti ini.

Nah sekarang kita mau membandingkan N dengan Z.

Jadi dia adalah himpunan yang min 5, min 3, min 2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, seperti itu.

Kalau tadi kita lihat bahwa ini adalah subset dari ini,

tapi ternyata banyak kardinalitasnya bisa tetap sama seperti itu.

Sekarang kita lihat himpunan yang lebih besar dari himpunan N.

Apakah kardinalitasnya bisa kita atur tetap sama seperti itu.

yang kita lakukan adalah mendefinisikan fungsi pemetaan satu-satu pada yang seperti itu.

Dan pemetaan ini secara eksplisit dapat kita hitung yaitu 2N-1.

kita juga dapat melakukan pemetaan yang sama seperti ini.

Tapi mungkin ekspresinya agak sedikit lebih rumit,

oleh karena itu saya tidak akan tuliskan secara eksplisit.

Namun kira-kira apa yang saya lakukan adalah 1 saya akan petakan ke 0.

Sebenarnya 1 saya petakan ke 1, 2 ke 3, 3 ke 4, 4 ke 7,

itu sama persis seperti saya menjalani dari 1 ke 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Saya seperti menyapu setiap elemen dan aksen dengan cara seperti ini.

Perhatikan, saya bisa juga melakukan yang sama di sini dengan cara begini.

Dengan melompati selang-seling seperti itu,

saya juga menyapu habis seluruh bilangan Z ini.

Jadi ini adalah peta dari 1, ini peta dari 2, ini peta dari 3, ini peta dari 4,

Berganti-ganti selang-seling seperti itu.

Dengan demikian saya dapatkan bahwa kardinalitas dari Z itu sama dengan kardinalitas dari N.

Ada banyak sekali anggota N yang tidak termuat di situ.

Bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk A per B,

di mana A dan B itu adalah bilangan bulat.

Nah, apakah saya bisa melakukan permainan yang sama seperti itu?

Mungkin yang gampang dulu kita buat rasional yang plus,

Nanti kalau plusnya sudah bisa dengan cara seperti ini,

saya bisa dapatkan juga yang negatifnya nanti.

Ini adalah simbol yang tidak ada bedanya kalau simbol ini saya tulis A, B.

Hanya saya perlu memikirkan, mengingat-ingat bahwa komponen kedua itu adalah penyebut.

Ini menyatakan A per B simbol, ini menyatakan ini.

Ya di sini juga saya harus definisikan operasi tambah.

Bersesuaian dengan cara yang tepat supaya match dengan yang ini.

Kalau saya tulis seperti ini, maka A dan B nya anggota bilangan set,

saya bisa tulis dia menjadi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Dan saya bisa tulis 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya ke sana.

Jadi ini seperti titik-titik gitu ya, seperti itu.

Dan setiap titik-titik ini itu menyatakan salah satu dari bilangan-bilangan A per B ini.

Bisa dipahami itu ya, bahwa setiap titik-titik ini menyatakan salah satu bilangan seperti itu.

Nah mungkin kalau titik-titik seperti itu agak terlalu agak sulit.

Jadi sekarang saya ganti ceritanya supaya Anda bisa ini.

Ini 1, nah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan seterusnya.

Jadi saya punya ini, kotak-kotak seperti ini.

Setiap titik adalah salah satu dari bilangan A per B ini.

Sekarang saya bisa membuat sebuah gerakan persis sama seperti ini.

Lompat-lompatan seperti itu, tapi di dalam 2 dimensi bentuknya begini.

Lihat, ini lebih jelas mungkin ya pakai yang kuning.

Lalu kesini, lalu kesini, lalu kesini, lalu kesini, sini, sini, sini, lalu kesini, sini, sini, sini, lalu kesini, dan seterusnya.

Semua titik-titik ini dapat saya lalui dengan gerakan seperti ini.

Kalau ini 1, ini 2, ini 3, ini 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Saya membuat sebuah bijeksi dari N kebilangan Q yang plus.

A Bigger Infinity?: Countable set

DEKSRIPSI

PENGAJAR

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

DEKSRIPSI

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.