Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas Arithmetica Modular atau Aritmatika Modular dalam Matematika Diskrit dengan fokus pada konsep kongruensi bilangan bulat. Dalam kongruensi A kongruen dengan B modulo M, M harus positif dan membagi A dikurang B. Notasi A kongruen B modulo M digunakan untuk menyatakan relasi ini. Terdapat teorema yang menyatakan A kongruen B modulo M jika dan hanya jika A mod M sama dengan B mod M, menunjukkan bahwa A dan B memiliki sisa yang sama saat dibagi oleh M. Konsep ini berbeda dengan notasi mod yang menyatakan fungsi, namun keduanya memiliki relasi yang dekat dalam Matematika Diskrit.

Sekarang kita akan bahas tentang Arithmetica Modular atau dalam bahasa Inggrisnya Modular Arithmetic.

Di dalam Modular ini kita akan membahas tiga bilangan, A dan B itu bilangan bulat,

M-nya bilangan bulat tapi harus positif di sini ya.

Jadi A kongruen dengan B modulo M itu jika M-nya membagi A dikurang B.

Kalau kita lihat definisi sebelumnya itu artinya kita bisa mendapatkan bilangan bulat S

sedemikian sehingga A-B itu adalah S dikali M.

Notasi yang kita gunakan untuk konsep ini adalah A kongruen itu pakai garis 3,

Kalau dia tidak kongruen berarti kita tulisnya A tidak kongruen,

garis 3 tadi dikasih ada garis mengatakan tidak, B modulo M.

Apa hubungannya dengan modulo M yang kita bahas sebelumnya?

Jadi kalau kita ingat contoh sebelumnya 2 itu tidak membagi 5 karena kita punya sisa

Sehingga nanti kita mengatakan 1 itu adalah 5 modulo 2.

Dua-duanya yang sekarang kita bahas pakai tanda garis 3

yang sebelumnya kita pakai sama dengan dua-duanya mengatakan istilahnya adalah mod

Jadi kalau kita pakai yang kongruen yang garis 3 tadi

itu sebetulnya menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat

yang A mod M sama dengan B itu menyatakan fungsi

Jadi kalau kita bilang A kongruen B modulo M

Jadi kita lihat misalnya apakah 34 itu kongruen dengan 4 modulo 5?

Nah sesuai definisi kita akan lihat apakah 34-4 itu adalah kelipatan 5

34-4 itu 30 maka 34 itu kongruen 4 modulo 5.

Apakah ada bilangan lain misalnya A nya itu tetap 34

apakah ada bilangan lain yang juga kongruen dengan modulo 5?

Jadi kita lihat disini misalnya kalau kita bilang 34 itu kongruen 4 modulo 5

kalau kita ambil bilangan lain misalnya 9 itu juga sama 34 kongruen 9 modulo 5

kenapa? karena menurut definisinya 34 itu kongruen modulo 5 dengan 4

nah 30 ini bisa dibagi 5 jadi 5 itu membagi 30

34 itu disebut kongruen dengan 9 modulo 5

karena 34-9 itu adalah 25 dan 5 nya itu juga membagi 25

jadi disini kita bisa lihat bahwa 34 itu tidak kongruen dengan 1 bilangan modulo 5 yang tunggal

jadi bisa banyak beda dengan yang mod yang kita bahas sebelumnya

sekarang kita lihat hubungan antara kongruen yaitu garis yang 3 tadi

jadi disini ada teorema sifat yang mengatakan

misalkan A dan B adalah bilangan bulat dan misalkan M merupakan bilangan bulat positif

maka A akan kongruen B modulo M jika dan hanya jika A mod M itu sama dengan B mod M

jadi artinya A dan B mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh M

jadi kalau kita punya A dan B kita bekerja di mod M yang sama

maka kalau A dan B dibagi dengan M itu sisanya sama

itu kita katakan A kongruen B modulo M dan sebaliknya

jadi kalau di contoh kita tadi 34 itu kongruen dengan 4 modulo 5

karena 34 dan 4 itu kalau dibagi 5 hasilnya sama yaitu 4

maksudnya sisanya ya karena kita kalau ngomong mod itu sisa dari kalau dibagi 5