Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas Teorema 4 dalam Aritmatika Modular pada Matematika Diskrit, terkait sifat kongruensi bilangan bulat. Teorema tersebut menyatakan bahwa dua bilangan bulat A dan B kongruen modulo M jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat K sehingga A = B + KM. Penjelasan didasarkan pada Division Algorithm untuk memahami hubungan antara kongruensi modulo M dan pembagian bilangan bulat. Konsep ini penting dalam memahami kaitan antara Teorema 4 dengan division algorithm.

Sifat selanjutnya adalah teorema 4 disini, misalkan M itu bilangan bulat positif dan bilangan bulat A dan B itu kongruen modulu M,

jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat K sehingga A nya itu sama dengan B ditambah KM.

Jadi kita kembali ke division algoritm lagi ya.

Karena ini jika dan hanya jika kita harus buktikan bolak-balik ya.

Jadi kalau diketahui A dan B kongruen modulu M kita tuliskannya A itu kongruen B modulu M dengan tanda yang garis 3 ya.

Dari definisi kita tahu bahwa M nya itu akan membagi A dikurang B.

Artinya kita bisa mendapatkan suatu bilangan bulat dalam hal ini saya notasikan dengan K,

ini anggota Z sehingga A dikurang B itu sama dengan K dikali M.

Jadi kita bisa tuliskan A nya akan sama dengan B ditambah KM.

Jadi bukti yang ke kanan itu sudah selesai.

Jadi kita punya bilangan bulat A, B, M kemudian ada bilangan bulat K sehingga A nya bisa dituliskan sebagai B ditambah K kali M.

Kita bisa menuliskan kembali KM nya itu sebagai A dikurang B.

Jadi B nya dipindah ke ruas sebelah kiri ya.

Ini artinya si M itu membagi A min B menurut definisinya.

Kalau M membagi B menurut definisi kongruen kita bisa menuliskan A nya itu kongruen dengan B modulo M.

Jadi kita lihat di teorema 4 ini kaitan antara kongruen modulo M dengan division algorithm.