Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas barisan Fibonacci yang didefinisikan secara rekursif, dimulai dengan F0 dan F1. Barisan ini terdiri dari nilai-nilai seperti 0, 1, 1, 2, 3, dan seterusnya. Dengan menggunakan induksi, dapat dibuktikan bahwa barisan Fibonacci memiliki batas bawah tertentu. Proses induksi ini melibatkan pembuktian bahwa setiap nilai dalam barisan lebih besar dari nilai tertentu yang dihitung dengan rumus tertentu. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa barisan Fibonacci memenuhi properti matematis yang telah ditetapkan.

Yang paling mungkin populer atau yang banyak diketahui adalah barisan Fibonacci.

Elemen-elemen dari barisan ini bisa didefinisikan dengan fungsi yang didefinisikannya secara rekursif.

Jadi kalau kita punya barisan Fibonacci atau bilangan Fibonacci F0, F1, F2 itu kita tentukan dulu F0 nya berapa.

Kalau di dalam contoh ini F0 nya 0, F1 nya adalah 1, kalau yang biasa kita kenal itu kan barisan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, dan seterusnya.

Kalau di sini kita mulainya dari 0, untuk suku yang ke 0 adalah 0, suku yang berikutnya adalah 1 itu didefinisikan kita punya dua nilai awal.

Kemudian suku berikutnya itu ditentukan oleh aturan Fn sama dengan Fn-1 ditambah Fn-2 untuk n-nya 2, 3, 4, dan seterusnya.

Jadi F2 itu akan sama dengan F0 ditambah F1, F0 nya tadi didefinisikan 0, F1 nya itu 1 berarti kita akan mendapatkan nilai 1 di sini.

F3 nya didapat dari nilai F1 ditambah F2, F1 nya didefinisikan 1, F2 nya tadi kita hitung dapatnya 1 jadi 1 tambah 1 itu dapatnya 2.

F4 itu dicari dari F2 ditambah F3, F2 nya tadi sama dengan 1 dan F3 nya sama dengan 2 berarti kita dapat 3 sehingga kita akan dapat suku setelah 0, 1 kita akan dapat suku 1, 2, 3,

dan yang berikutnya nanti 2 tambah 3 itu 5, kemudian 3 tambah 5 itu 8, 5 tambah 8 itu 13, dan seterusnya.

Sehingga kita mendapatkan apa yang kita kenal sebagai barisan Fibonacci.

Barisan Fibonacci ini ternyata bisa dicari batas bawahnya, jadi kalau n-nya lebih besar sama dengan 3 Fn dalam hari ini barisan Fibonacci ke n

itu lebih besar dari alfa pangkat n-2, di mana alfanya 1 plus akar 5 dibagi 2.

Untuk membuktikan hal ini kita menggunakan induksi, jadi Pn nya itu adalah Fn lebih besar dari alfa pangkat n-2 dengan alfanya tadi 1 plus akar 5 per 2.

Langkah dasarnya kita lihat dulu F3, F3 itu kan menurut barisan Fibonacci yang sudah kita bahas sebelumnya itu kan sama dengan 2,

jadi 2 sendiri itu lebih besar dari 1 plus akar 5 per 2, sehingga kita bisa mendapatkan alfa lebih kecil 2 lebih kecil sama dengan F3.

Kalau A2 nya itu kalau dihitung A2 itu adalah 3 plus akar 5 per 2, dia lebih kecil 3 di mana 3 itu adalah nilai dari F4.

Sehingga dengan cara ini kita sebetulnya membuktikan bahwa P3 F3 lebih besar dari alfa 3 pangkat n-2 itu benar,

kemudian P4 F4 itu adalah F4 lebih besar dari alfa 4 pangkat n-2, jadi lebih besar dari alfa kuadrat itu benar.

Langkah induktifnya kita asumsikan bahwa PJ itu benar, artinya FJ lebih besar dari alfa pangkat j-2 untuk J nya lebih besar sama dengan 3 lebih kecil sama dengan K.

Sekarang langkah induktif yang terakhir adalah kita harus membuktikan PK plus 1 nya benar atau FK plus 1 itu lebih besar dari alfa pangkat K-1.

Untuk membuktikan hal ini kita harus juga mengingat bahwa si alfa yang nilainya 1 plus akar 5 dibagi 2 itu merupakan solusi dari X kuadrat X-1 sama dengan 0.

Sehingga kalau dimasukkan nilainya maka kita akan dapat alfa kuadrat sama dengan alfa plus 1.

Ini adalah langkah induktif bagaimana untuk membuktikan si PK plus 1 nya benar.

Dari alfa kuadrat itu sama dengan alfa plus 1 maka kita bisa mencari untuk alfa pangkat K-1.

Itu akan sama dengan alfa kuadrat dikali alfa pangkat K-3.

Alfa kuadratnya itu sama dengan alfa 1 jadi kita substitusi dikali dengan alfa K-3 kita akan dapat alfa kali alfa K-3 ditambah 1 kali alfa pangkat K-3.

Nanti kita akan dapat alfa pangkat K-1 ditambah alfa pangkat K-3.

Jadi alfa K-1 itu akan sama dengan alfa pangkat K-2 ditambah alfa pangkat K-3.

Sehingga ini adalah bentuk rekursifnya untuk mencari alfa.

Sekarang dari langkah induktif kita tahu bahwa si Fj itu selalu lebih besar dari alfa pangkat J-2 untuk jantung jantungnya antara 3 sampai K.

Sehingga kalau kita cari Fk-1 itu nanti akan sama dengan alfa K-1-2 ini dapatnya nanti alfa pangkat K-3.

Dan Fk-1 akan sama dengan alfa pangkat K-2.

Sehingga begitu kita menghitung Fk-1 itu tadi hitungannya adalah aturannya Fk ditambah Fk-1.

Kemudian Fk-1 lebih besar dari alfa pangkat K-3.

Dan alfa pangkat K-2 ditambah alfa pangkat K-3 itu sama dengan alfa pangkat K-1.

Sehingga kita nanti akan mendapatkan Fk-1 itu lebih besar dari alfa pangkat K-1.

Dan ini memenuhi apa yang harus kita tunjukkan.

Jadi kalau N sama dengan K-1 berarti Fn itu lebih besar dari alfa pangkat N-2.

Jadi ini sudah terbukti untuk yang bilangan Fibonacci.