Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas konsep batas atas dan batas bawah dalam Matematika Diskrit, terutama dalam konteks relasi pada himpunan. Batas atas dicari untuk subset dari himpunan dengan menggunakan relasi lebih kecil sama dengan, sedangkan batas bawah dicari dengan relasi lebih kecil sama dengan untuk setiap elemen. Melalui contoh diagram poset, batas atas ditemukan dari elemen yang lebih besar dari semua elemen subsetnya, sedangkan batas bawah ditemukan dari elemen yang lebih kecil dari semua elemen subsetnya. Penting untuk memahami konsep ini untuk mengidentifikasi batas atas dan batas bawah dari sub-himpunan dalam Matematika Diskrit.

Kalau kita punya sembarang himpunan kemudian kita bikin himpunan kuasanya dengan relasinya lebih kecil sama dengan,

maka elemen terkecil itu adalah elemen himpunan kosong, karena dia pasti kalau kita buat itu ada di bagian bawah.

dan elemen terbesarnya itu pasti si S-nya sendiri,

nanti di sini di tengah-tengah tergantung S-nya terdiri dari berapa elemen itu kita bisa susun diagram hasilnya.

Sekarang ada satu konsep yang kadang suka ketukar dengan yang tadi elemen maksimal dan minimal

yang kita sebut sebagai batas atas dan batas bawah.

Batas atas dan batas bawah itu biasanya kita cari untuk subset,

jadi kita tidak mencari dari semua S karena semua S itu nanti kita dapatnya elemen terbesar sama elemen terkecil atau maksimal minimal,

kalau di sini kita nyari dari subhimpunan, subhimpunan A dari poset S dengan relasi lebih kecil sama dengan.

Jadi kalau si U itu lebih besar sama dengan,

maaf di sini tidak ada istilah lebih besar sama dengan, kita pakai istilahnya lebih kecil sama dengan relasinya,

kalau A itu lebih kecil sama dengan U untuk setiap elemen A anggota A,

maka U-nya itu kita sebut sebagai batas atas

dan kalau L lebih kecil sama dengan A untuk setiap A anggota S kita sebut dia sebagai batas bawah.

Untuk jelasnya kita lihat contoh berikut, kita punya hasil diagram dari poset,

di sini ada A, B, C, D, E, F, G, H, I, J,

kita lihat di sini kalau dari himpunannya itu saya ambilnya A, B, C, jadi ini kita ngomongin subhimpunan,

kalau subhimpunannya kita ambil A, B, C, maka yang menjadi batas atas itu adalah yang menjadi elemen

di mana setiap A, B, atau C itu lebih kecil dari dia.

Jadi misalnya di sini adalah E, kita lihat B itu lebih kecil dari E, C itu lebih kecil dari E,

A-nya lebih kecil dari E melalui transitif, kita lihat karena A lebih kecil dari C, C lebih kecil dari E,

maka A lebih kecil dari E, berarti dia akan menjadi batas atas.

Begitu juga si F dan J, karena itu ada di atasnya lagi tambah satu lagi H.

Sekarang bagaimana kalau kita lihat si D, D ini kan lebih kecil dari D, D menjadi cover dari B,

A-nya juga lebih kecil dari D, tapi C dengan D itu tidak ada kaitannya,

jadi C itu tidak lebih kecil dari D, sehingga D itu bukan batas atas dari si A, B, C.

Kalau batas bawahnya di sini ada di himpunan si A tersebut, yaitu elemen A.

Sekarang bagaimana kalau saya lihatnya J sama H, jadi saya ganti warna dulu,

sekarang himpunannya itu J sama H, ada batas atas tidak?

Tidak ada, karena si J dan H ini tidak dapat dibandingkan dan kita tidak punya elemen lain yang H-nya lebih kecil elemen tersebut,

J-nya juga elemen tersebut, jadi di sini dia tidak mempunyai batas atas,

tapi dia punya batas bawah yaitu si F, batas bawah yang lain juga ada ini si E, kemudian C, kemudian A.

B-nya juga, karena nanti bisa mengambil dari jalur yang ini, jadi nanti A, B, C, D, F itu merupakan batas bawah dari si himpunan J-H.

Semoga lebih jelas, jadi di sini batas bawah dan batas bawah itu dari sub-himpunan.

Kalau batas bawah tadi ada yang satu, ada yang beberapa tadi, yang terakhir itu untuk yang J sama H itu kita punya batas bawahnya A, B, D, E, F,

kemudian untuk yang A, B, C itu ada batas atasnya E, F, J, H, nanti kalau bikin himpunan yang lain kita akan bisa dapat batas atas-batas bawah lainnya.