Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas contoh penerapan Teorema Chinese Reminder Theorem dalam menyelesaikan kongruensi linier. Dengan menggunakan teorema tersebut, kita dapat mencari solusi untuk tiga kongruensi linier yang diberikan. Melalui perhitungan modulonya, kita dapat menemukan solusi unik yang memenuhi sistem kongruensi tersebut. Hasilnya, nilai yang memenuhi kongruen dengan 1 modulo 3, 2 modulo 5, dan 3 modulo 7 adalah 52. Konsep ini memperlihatkan bagaimana mencari solusi dalam sistem kongruensi dengan menggunakan Teorema Chinese Reminder.

kita lihat contohnya, misalkan kita punya suatu kongruensi linier, X-nya kongruensi 1 modulo 3, X-nya kongruensi 2 modulo 5, dan X-nya kongruensi 3 modulo 7

sekarang yang mau dicari adalah solusinya untuk ketiga kongruensi linier itu berapa?

dengan teorema tadi kita cari dulu perkalian dari modulonya tadi

kita punya modulo 3, modulo 5, modulo 7 di dalam contoh sebelumnya

sehingga M kecilnya adalah 3 x 5 x 7 itu 105

kemudian masing-masing kita cari M besar 1 kecil

M besar 1 itu akan sama dengan M kecil dibagi 3 berarti 35

M besar 2 itu sama dengan M kecil dibagi 5

kemudian M besar 3 itu akan sama dengan M dibagi 7 itu dapatnya 15

kemudian kita cari inverse untuk M1, M1 itu 35

kita dapat inverse nya itu 2 karena 35 x 2 itu sama dengan 35 itu adalah 2 modulo 3

jadi akan sama dengan 2 x 2 itu kongruen dengan 1 modulo 3

1 itu inverse nya untuk M2 karena M2 itu kan 21 itu otomatis sudah 1 modulo 5

dan juga untuk M3, M3 itu 15 itu 1 modulo 7 berarti inverse nya juga 1

artinya dia itu kongruen dengan identitasnya sendiri

untuk mencari solusinya kita define sebagai A1 x M1 x Y1 ditambah A2 x M2 x Y2 ditambah A3 x M3 x Y3

A1 misalnya sama dengan 1, M1 sama dengan 35, Y1 sama dengan 2 dan seterusnya nanti kalau kita kalikan kita dapat 157

tapi karena kita bekerja di modulo M kecil yang merupakan perkalian dari 357 yaitu 105

maka dia akan kongruen dengan 52 modulo 105

jadi yang disebut sebagai unik ingat itu yang 157 nya

tapi kalau kita melihatnya di modulo 105 nanti kita bisa mendapatkan bilangan-bilangan lain yang nanti kongruen juga dengan 52 modulo 105

karena disini solusi tadi 157 itu kalau di modulo 105 itu yang paling kecil positif adalah 52

maka dia kita sebut memenuhi sistem kongruensi tersebut

jadi 52 itu kalau dibagi 3 karena kita bekerja di modulo 3 nilainya 1

kalau dibagi 7 nanti nilainya 3 dalam hari ini 1, 2, 3 itu sisanya ya karena kita bekerja berdasarkan modulo

jadi kita bisa mengatakan X nya itu adalah kongruen 1 modulo 3 karena 52 tadi dibagi 3 sisanya 1

kemudian 52 itu kalau dibagi 5 sisanya 2 jadi X nya itu yang memenuhi kongruen dengan 2 modulo 5

sehingga 52 tadi memenuhi ketiga kongruensi linier yang kongruen 1 modulo 3, kongruen 2 modulo 7, kongruen 3 modulo 7