Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas contoh lattice dalam Matematika Diskrit dengan topik Relasi. Lattice dapat terbentuk dari himpunan bilangan bulat positif dengan relasi pembagian, di mana batas atasnya adalah Kelipatan Persekutuan Terbesar (KPK) dan batas bawahnya adalah Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Sebuah contoh lain adalah himpunan bilangan 1, 2, 4, 8, 16 dengan relasi membagi, yang membentuk lattice karena memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Selain itu, himpunan kuasa dari sebuah himpunan S dengan relasi subset juga dapat membentuk lattice, di mana setiap subhimpunannya memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar.

Contoh lain misalnya kalau sebelumnya kita udah bahas poset Z+,

jadi elemen-elemen bilangan bulat yang positif dengan relasi pembagian,

Kita tahu dari sifat bilangan bulat kalau kita ambil sepasang bilangan AB,

maka batas atas terkecil itu sebetulnya adalah KPK atau Kelipatan Persekutuan Terbesar

sedangkan nanti batas bawah terbesarnya itu adalah FPB,

Faktor Persekutuan Terbesar atau Greatest Common Divisor dari dua bilangan ini,

sehingga kita nanti bisa menunjukkan ini merupakan latis.

Sekarang kita lihat contoh yang lain, misalnya kita punya himpunan 1, 2, 3, 4, 5 dengan relasinya membagi,

kita ambil sepasang kan ya, mau dicek misalnya 2 dan 3 itu nggak ada batas atasnya,

karena 2 dan 3 itu tidak sama-sama membagi suatu bilangan,

kalau kita masukkan 6 di sini maka 6 akan menjadi batas atas,

tapi karena 6-nya nggak ada berarti di sini nggak ada sehingga ini bukan latis.

Kalau 1, 2, 4, 8, 16 itu kita akan punya batas atas terkecil dan batas bawah terbesar,

karena kalau digambarkan dengan ini kan relasinya membagi,

nanti kita akan bisa dapatkan bentuk di sini 1, kemudian 2, 4, sama 8, kemudian yang terakhir 16.

Jadi kita ambil kalau sepasang bilangan itu pasti ada batas atasnya

dan kita punya batas atas terkecil dan batas bawah terbesarnya, karena ini linear order.

Sekarang contohnya adalah himpunan kuasa dari himpunan S dengan relasinya subset,

Kita tahu bahwa kalau kita ambil 2 elemen dari PS, jadi subhimpunan dari suatu himpunan tadi,

himpunan S, dia pasti punya irisan sama gabungan kan ya,

nah gabungannya itu akan menjadi batas atas terkecil dan irisannya akan menjadi batas bawah terbesar.

Jadi batas atas terkecil dan batas bawah terbesar itu bukan untuk semua himpunan S,

tapi setiap subhimpunannya itu punya batas atas terkecil atau batas bawah terbesar atau enggak.