Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas contoh relasi rekurens linear dengan menggunakan persamaan karakteristik untuk mencari solusi barisan a n. Dengan substitusi a n sama dengan R pangkat n, kita dapatkan persamaan karakteristik dengan akar yang sama. Contoh penerapan dalam persamaan R kuadrat min 4R plus 4 sama dengan 0 menghasilkan solusi a n sama dengan 2 pangkat n ditambah 3 per 2 n kali 2 pangkat n. Dengan memanfaatkan nilai awal a 0 dan a 1, kita dapatkan nilai konstanta alfa 1 dan alfa 2 untuk mendapatkan solusi akhir.

Persamaan tadi, persamaan R kuadrat min R min 2 sama dengan 0, kita mendapatkan 2 akar yang berbeda.

Nah bagaimana kalau persamaannya setelah kita substitusi a n sama dengan R pangkat n,

kita dapat persamaan karakteristik yang akarnya itu sama.

Jadi misalkan kita punya C1 C2 bilangan real, C2 nya tidak sama dengan 0

dan R kuadrat min C1 R min C2 sama dengan 0 ini hanya memiliki 1 akar misalnya R0 saja,

maka barisan a n adalah solusi dari relasi recurrence a n sama dengan C1 a n min 1 ditambah C2 a n min 2

jika dan hanya jika a n sama dengan alpha 1 dikali R0 pangkat n, R0 itu adalah akarnya tadi ditambah

kalau yang sebelumnya kan alpha 2 kali R yang satunya,

tapi karena ini kebetulan sama jadi di sini alpha 2 nya dikali R0 pangkat n,

jadi bedanya sama teorema atau contoh kita yang sebelumnya,

ini di sini ada diselipkan variable n untuk yang suku kedua karena dia kebetulan sama.

Jadi ini teoremanya bagaimana untuk mencari solusi dari a n sama dengan C1 a kali a n min 1 ditambah C2 kali a n min 2

dengan persamaan karakteristiknya itu mempunyai akar yang sama.

Untuk lebih jelasnya kita coba lihat contohnya,

di sini ada a n sama dengan 4 a n min 1 dikurang 4 a n min 2

kemudian nilai awalnya kita masukkan a 0 nya 1 a 1 nya 5.

Jadi kita pakai teorema yang kedua yang sebelumnya kita bahas caranya sebetulnya sama dengan yang pertama

jadi kita substitusi a n itu sama dengan R n, kita masukkan R n ke dalam persamaannya

kemudian nanti karena di sini ada yang terakhir sukunya adalah a n min 2 berarti nanti terakhir R nya pangkat n min 2

nanti kita bagi dengan R pangkat n min 2 kita akan dapat persamaan karakteristik R kuadrat min 4 R plus 4 sama dengan 0.

Dari sini kita cari akarnya, ternyata akarnya itu akar kembar jadi R1 dan R2 itu sama-sama nilainya 2.

Jadi solusinya adalah a n nya sama dengan alfa 1 dikali akarnya tadi 2, 2 pangkat n ditambah yang keduanya alfa 2 n dikali 2 pangkat n.

Jadi ada tambahannya di situ, untuk suatu konstanta alfa 1 dan alfa 2.

Untuk cari alfa 1 dan alfa 2 nya kita masukkan nilai awalnya, tadi nilai awalnya a 0 sama dengan 1 dan a 1 sama dengan 5

a 0 kita masukkan n sama dengan 0 di situ, suku keduanya itu ada n nya berarti dia nilainya 0 juga.

Sehingga nanti kita akan dapat 0 nya itu sama dengan 1 tadi, itu sama dengan alfa 1 jadi ini langsung alfa 1 nya kita peroleh nilainya 1.

Kemudian dari nilai awal a 1 sama dengan 5 itu nanti kita masukkan untuk n sama dengan 1 sama dengan alfa 1 kali 2,

2 itu dari 2 pangkat 1 plus alfa 2 kali 1 n nya terus 2 pangkat 1 juga.

Dari sistem persamaan linier tapi ini sistem persamaan linier yang lebih mudah dari yang sebelumnya karena alfa 1 nya langsung kita dapatkan

berarti dari sini kita langsung dapatkan alfa 2 itu kalau dihitung itu 3 per 2.

Sekarang kita bisa mendapatkan solusi khususnya yaitu a n nya sama dengan 1 kali 2 pangkat n ditambah 3 per 2 n kali 2 pangkat n,

1 dan 3 per 2 nya itu berasal dari alfa 1 dan alfa 2, alfa 1 nya 1 alfa 2 nya 3 per 2, yang 2 pangkat n itu berasal dari akarnya.