Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang definisi komposisi dalam matematika diskrit, di mana kita dapat melakukan kombinasi dari relasi-relasi yang ada. Kita bisa menggunakan operasi-operasi himpunan seperti gabung, irisan, dan pengurangan untuk membuat kombinasi relasi. Contohnya, kombinasi relasi R1 dan R2 menghasilkan himpunan pasangan terurut yang mewakili mahasiswa dan mata kuliah yang harus diambil. Selain itu, video juga menjelaskan konsep komposisi relasi, di mana relasi dari himpunan A ke B dapat dikombinasikan dengan relasi dari B ke C. Proses komposisi ini dilakukan dengan mencocokkan pasangan terurut dari kedua relasi untuk menghasilkan relasi baru. Komposisi relasi juga dapat dilakukan secara berulang, seperti R pangkat 2 yang merupakan komposisi dari relasi R dengan dirinya sendiri.

Di antara relasi-relasi yang sudah kita bahas dengan contoh-contohnya, kita juga bisa melakukan kombinasi dari relasi-relasi yang ada.

Coba kita lihat contohnya, misalnya saya punya himpunan A di sini adalah 123 dan Bnya 1234,

maka kalau kita punya relasi R1 itu 11, 22 dan 33 dan R2 itu 11, 12, 13, 14.

Jadi R1 itu yang ABnya sama, yang R2 itu yang elemen pertamanya adalah 1.

Itu bisa kita kombinasikan karena si R1 maupun R2 itu merupakan himpunan,

jadi kita bisa menggunakan operasi-operasi di himpunan untuk membuat kombinasi dari relasi.

Jadi contohnya kita bisa membuat R1 gabung R2, isinya apa?

Artinya semua elemennya kita gabung jadi seperti himpunan biasa, jadi kita punya 11, 12, 13, 14, 22 dan 33.

Kita juga bisa membuat R1 irisan R2, irisan di antara 2 himpunan itu adalah 11.

Kemudian kita juga bisa melakukan operasi R1 dikurang R2.

R1 kurang R2 itu ingat ya, jadi elemen R1 yang tidak ada di R2.

Yang di R2 itu adanya cuma 11, jadi 11nya kita hilangkan tinggal 22 dan 33.

Kemudian kalau R2 kurang R1 itu elemen R2 yang tidak ada di R1,

berarti di sini 11nya yang kita hilangkan kita punya 12, 13 dan 14.

Itu adalah relasi-relasi yang kita dapatkan dari operasi himpunan, jadi kita kombinasikan.

Kita lihat contohnya kalau bentuknya bukan dalam angka.

Misalnya kita punya himpunan A itu adalah himpunan semua mahasiswa dari suatu program studi.

B nya itu himpunan semua mata kuliah yang ditawarkan oleh program studi tersebut.

Kalau relasi yang R1 itu kita definisikan semua pasangan terurut AB adalah mahasiswa yang telah mengambil kuliah B.

Jadi AB itu pasangan yang pertama itu mahasiswa, B nya itu mata kuliah,

tapi relasinya itu mengatakan A sudah lulus kuliah tersebut atau telah mengambil kuliah tersebut.

Jadi kalau misalnya contoh yang lalu Dian sama aljabar linear artinya Dian sudah mengambil aljabar linear.

Kemudian relasi yang kedua atau R2 itu pasangan terurut AB nya dengan arti atau relasinya adalah

A adalah mahasiswa yang memerlukan kuliah B untuk lulus.

Ini jadi mata kuliah wajib biasanya, jadi B itu adalah semua mata kuliah wajib.

Kalau kita melakukan kombinasi relasi dengan R1 gabung R2 artinya apa?

Artinya adalah semua pasangan terurut AB dengan A adalah mahasiswa yang telah mengambil kuliah B

atau harus mengambil kuliah B untuk lulus.

Kalau R1 diiris R2 itu artinya himpunan dari semua pasangan terurut AB

dengan A adalah mahasiswa yang telah mengambil kuliah B dan memerlukan kuliah ini untuk lulus.

Kalau yang XOR dalam arti R1 XOR R2 itu adalah pasangan terurut AB dengan mahasiswa A nya telah mengambil mata kuliah B

tapi mata kuliah B itu bukan syarat untuk lulus atau memerlukan kuliah B untuk lulus tapi belum diambil.

Jadi ada dua itu si mata kuliahnya B nya itu bisa sebagai mata kuliah yang wajib tapi belum diambil

atau bukan syarat lulus jadi dia mungkin mata kuliah pilihan.

Kalau R1 dikurang R2 disini adalah himpunan dari pasangan terurut AB

dimana A sudah mengambil kuliah B tetapi tidak memerlukan kuliah tersebut untuk persyaratan dia lulus.

Jadi dalam hal ini si B nya itu merupakan mata kuliah pilihan.

Kalau R2 kurang R1 itu himpunan dari semua pasangan terurut AB dengan B adalah kuliah yang diperlukan

untuk lulus tapi belum diambil karena R1 nya tadi kan sudah mengambil atau sedang mengambil.

Nah R2 adalah B nya kuliah yang diperlukan untuk lulus karena itu dikurangi berarti dia artinya belum lulus tidak ada di R1.

Nah ini adalah contoh dari kombinasi relasi.

Nah sekarang kombinasi yang lain itu bisa dengan komposisi.

Jadi kalau kita punya R relasi dari himpunan A ke B, S nya adalah relasi dari himpunan B ke C

ingat ya disini R nya dari A ke B, S nya dari B ke C.

Jadi itu harus sama-sama B yang satu fungsi itu kalau masih ingat kalau kita melakukan komposisi

itu kodomennya dari fungsi yang pertama itu harus jadi domen fungsi yang kedua.

Jadi komposisinya itu nanti bentuknya adalah AC dengan A nya anggota A, C nya anggota C

dan kita punya elemen B sehingga AB anggota R dan BC nya itu anggota S.

Ini komposisi notasinya biasanya pakai buletan kecil S dengan R.

Kita lihat contohnya kalau kita punya R nya bentuknya adalah relasi dari 1, 2, 3 dan 1, 2, 3, 4

seperti sebelumnya tapi isinya adalah 1, 1, 1, 4, 2, 3, 3, 1, 3, 4 kemudian S adalah relasi dari 1, 2, 3, 4 ke 0, 1, 2.

Kita perhatikan disini R nya adalah A nya 1, 2, 3, B nya 1, 2, 3, 4, S nya itu B nya itu 1, 2, 3, 4, C nya itu bisa beda.

Jadi kita ambil disini 0, 1, 2 dengan S nya adalah 1, 0, 2, 0, 3, 1, 3, 2, dan 4, 1.

Sekarang untuk melakukan komposisi tadi itu semua pasangan terurut di R dan pasangan terurut di S

itu kita cocokkan dengan, maksudnya elemen keduanya yang ada di R itu harus merupakan elemen pertama dari S,

Jadi misalnya kita lihat disini, 1, 1 itu ada di R kemudian yang di S adanya cuma 1, 0.

Jadi kita akan punya 1, 0, otomatis karena 1, 0.

Sekarang kita punya lagi 1, 4 di R dan yang di S kita punya 4, 1.

Jadi 1, 4 dengan 4, 1 kita punya nanti hasilnya 1, 1.

Kalau kita punya 2, 3 di R kemudian kita punya yang elemen pertamanya 3 di S itu adalah 3, 1.

Kemudian kita punya 2, 3 dan 3, 2 kita akan dapatkan 2, 2.

Dan elemen terakhir untuk yang di R itu 3, 1, yang elemen S yang mulai dengan 1 itu adanya 1, 0.

Dan maaf masih ada 1 lagi, disini ada 3, 4, di S-nya adanya 4, 1 jadi kita peroleh 3, 1.

Itu adalah contoh bagaimana kita melakukan relasi komposisi dari dua relasi R dan S.

Yang berikutnya lagi adalah kalau komposisinya itu dia berulang.

Jadi kalau tadi kan R dengan S, kalau sekarang R-nya itu di komposisi dengan R sendiri

itu kita bisa kasih notasinya adalah R pangkat 2, yang definisinya nanti secara rekursif.

Jadi kalau kita punya R n plus 1 itu sebetulnya R n dibuat relasi komposisi dengan R.

Bagaimana contohnya, misalnya saya punya relasi 1, 1, 2, 1, 3, 2 dan 4, 3.

Kemudian diminta mencari R pangkat 2, R pangkat 2 itu adalah R di komposisi dengan R sendiri.

Sehingga kita lihat hasilnya adalah 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2.

Beda dengan R karena disini kita punya 1, 1 kemudian elemen yang di R yang elemen pertamanya 1 adalah 1, 1 sendiri.

Jadi kita punya 1, 1 terus kita enggak punya lagi yang elemen pertamanya 1.

Kemudian kita lihat 2, 1 itu dia akan dipasangkan dengan yang 1, 1.

Berarti kita nanti akan dapat 2, 1 itu elemen keduanya di R2.

Terus kita enggak ada lagi yang dimulai dengan 1 di depan.

Kita mulai dari 3, 2 kita cari yang mulainya dengan 2 adanya adalah 2, 1 berarti nanti kita peroleh 3, 1.

Di sini kita peroleh 3, 1 dan yang terakhir 4, 3 yang dimulai elemen pertamanya 3 itu 3, 2 berarti di sini kita punya 4, 2.

Jadi yang hasil yang barusan itu kita komposisi lagi dengan R nanti kalau dihitung kita akan dapat 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1 itu sebagai anggotanya.

Itu bisa dilakukan berulang untuk R4, R5, R6 dan seterusnya.