Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang deret kuasa formal dalam Matematika Diskrit, di mana fungsi pembangkit digunakan sebagai representasi. Deret kuasa formal dapat dioperasikan dengan operasi jumlah dan kali, serta terkait dengan koefisien binomial yang dapat dihubungkan dengan kombinasi. Extended binomial coefficient memperluas konsep koefisien binomial untuk bilangan real, membantu dalam mencari fungsi pembangkit lainnya. Terdapat kaitan antara kombinasi nR dengan kombinasi n+R-1 kali R, yang dapat diekspresikan dengan rumus min 1 pangkat R dikali kombinasi n+R-1 dengan R.

Kalau fungsi pembangkit itu digunakan untuk menyelesaikan masalah konting,

dia akan dilihat dalam bentuk yang deret kuasa formal,

kita tidak tertarik untuk melihat apakah deret itu konvergen atau tidak,

jumlahnya berapa, itu kita tidak ingin mencari ke arah sana,

tapi hanya kita gunakan sebagai bentuk representasi saja.

Kita jadi bisa lihat kalau misalnya barisannya 1,1,1,1,

berarti kan deret kuasanya adalah 1 plus X plus X kuadrat plus X pangkat tiga dan seterusnya,

dengan catatan harga mutlak Xnya lebih kecil dari 1.

Kemudian kalau fXnya itu 1 per 1 main AX,

kalau di sini 1 main AX itu fungsi pembangkitnya siapa?

Ternyata itu adalah fungsi pembangkit dari 1, A, A kuadrat, A pangkat tiga dan seterusnya,

karena 1 per 1 main AX itu akan sama dengan 1 ditambah AX ditambah A kuadrat X kuadrat ditambah dan seterusnya,

artinya dia merepresentasikan barisan 1, A, A kuadrat, A pangkat tiga.

Dengan catatan juga harga mutlak AXnya itu harus lebih kecil 1,

atau Xnya harga mutlaknya harus lebih kecil dari 1 per A untuk A yang tidak 0.

Kalau kita sudah punya fungsi dalam bentuk deret kuasa,

kita tahu bahwa kita bisa mengoperasikan kedua fungsi itu dengan operasi jumlah dan operasi kali.

Jadi kalau fX itu adalah sigma dari K 0 sampai T hingga dari AK X pangkat K,

kemudian GXnya adalah sigma dari K dari 0 sampai T hingga dari BK X pangkat K,

maka kalau kita jumlahkan koefisiennya tinggal kita tambahkan,

jadi disini adalah sigma dari K 0 sampai T hingga dengan koefisiennya akan ditambah BK X pangkat K.

Kalau perkaliannya itu kita harus mengalihkan dari dua penjumlahan,

jadi nanti kita akan mendapatkan sigma untuk K 0 sampai T hingga dikali sigma dari J 0 sampai K AJ BK min J,

kemudian kalau jumlahan dari J 0 Knya itu sudah diperoleh,

ini kita kalikan dengan XK dimana Knya nanti kita jumlahkan dari 0 sampai T hingga,

jadi ini sudah bentuk deret kuasanya, koefisiennya ini adalah jumlahan yang di dalam.

Contohnya bisa misalnya saya punya fX itu sama dengan 1 per 1 min X kwadrat,

ini itu kan berarti dia akan merepresentasikan yang mana,

karena ini kan fungsi pembangkitnya sudah tahu.

Kita tahu dari sebelumnya 1 per 1 min X itu adalah 1 plus X plus X kwadrat plus X pangkat 3 dan seterusnya,

sehingga kalau kita mau menghitung 1 per 1 min X kwadrat,

itu artinya kita tinggal kalikan 1 per 1 min X dikali 1 dibagi 1 min X,

kemudian kita gunakan operasi perkalian seperti yang sebelumnya,

nanti kita akan dapat koefisiennya adalah jumlahan dari 1 untuk J sama dengan 0 sampai K,

kemudian karena ini adalah koefisien dari X pangkat K dan jumlahan 1 dari J 0 sampai K itu adalah K plus 1,

jadi kita akan dapatkan deret kuasa dengan koefisiennya adalah K plus 1.

Sekarang kita tahu bahwa dalam koefisien binomial itu kita bisa hubungkan dengan kombinasi,

kalau extended binomial koefisiennya dari kombinasi UK itu nanti akan nilainya kalau K lebih besar 0,

itu adalah U dikali U min 1 sampai U dikurang K plus 1 nanti dibagi K faktorial semuanya,

Ini kombinasi UK di sini dikatakan sebagai extended karena U nya ini boleh bilangan real dan K nya itu tetap bilangan bulat non negatif,

kalau kita bicara koefisien binomial sebelumnya U nya dan K itu adalah bilangan bulat,

tidak boleh ada bilangan realnya, jadi ini makanya kita tambahkan namanya jadi extended binomial koefisien.

Jadi kita lihat contohnya kita bisa cari kombinasi dari min 2,3 atau setengah 3 di sini,

jadi di sini sama seperti definisinya cuma bedanya adalah kalau definisinya kan biasanya kalau nK itu nanti kita cari di sini n faktorial dibagi K faktorial dikali n min K faktorial,

atau kita bisa dibagi dengan n min K faktorial di atas berarti nanti kita punya n min K plus 1 dikali n min K plus 2 sampai n di bawahnya adalah K faktorial.

Ini juga digunakan untuk kombinasi min 2,3 di sini jadi dibaginya kan n min K berarti min 2 kurang 3 berarti min 5,

jadi dia akan berhenti dari min 2, min 3, min 4 yang min 5 nya itu dicoret dari bentuk yang ini,

jadi nanti kita akan dapat di bawahnya itu dibagi 3 faktorial hasilnya kalau dihitung itu sama dengan min 4.

Sama, di sini kita akan dapat nanti nilainya adalah setengah kurang 1, setengah kurang 2, setengah kurang 3 nya itu nanti sama buntutnya itu dicoret sama yang di bagian bawahnya,

kita tinggal bagi dengan 3 faktorial sehingga nanti hasilnya akan sama dengan 1 per 16.

Jadi di sini tidak ada hubungannya sama apa namanya kelihatannya tidak ada hubungannya sama fungsi pembangkit,

tapi si Extended Binomial Coefficient ini nanti akan membantu kita pada saat mencari fungsi pembangkit yang lain.

Jadi ini kita lihat kaitan antara kombinasi yang min nR dengan kombinasi yang n plus R min 1 dikali R,

Ini kita karena bilangannya adalah min n kita pakainya Extended Binomial Coefficient dengan cara yang biasa,

jadi kita kalikan min n terus sampai min n min R plus 1 kemudian dibagi R faktorial.

Nah ini karena n nya itu ada minusnya semua maka kita bisa kumpulkan dapat min 1 pangkat R dan nanti sisanya adalah n dikali n plus 1 sampai n plus R min 1 dibagi R faktorial.

Nah ini nanti kita lihat nilainya akan sama dengan min 1 pangkat R dikali n plus R min 1 faktorial dibagi R faktorial dikali n min 1 faktorial.

Jadi kita lengkapi lagi nanti kita bisa tuliskan dia adalah min 1 pangkat R dikali kombinasi n plus R min 1 dengan R.

Ini apa namanya kalau melihat kaitan nilainya.