Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas Teorema Kecil Fermat atau Fermat's Little Theorem dalam Matematika Diskrit. Teorema ini menyatakan bahwa jika P adalah bilangan prima dan A adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi P, maka A pangkat P-1 kongruen dengan satu modulo P. Dengan menggunakan teorema ini, perhitungan A pangkat besar seperti 7 pangkat 222 modulo 11 dapat disederhanakan menjadi 7 pangkat 10 kongruen dengan 1 modulo 11. Dengan demikian, hasil perhitungan 7 pangkat 222 modulo 11 adalah 5.

Topik terakhir kita yaitu yang kita sebut sebagai Teorema Kecil Fermat

atau bahasa Inggrisnya Fermat's Little Theorem.

Ini teorema yang sangat terkenal karena aplikasinya cukup banyak.

Di sini dikatakan jika P bilangan prima dan A bilangan bulat yang tidak habis dibagi P

maka A pangkat P-1 itu akan kongruen dengan satu modulo P.

Ini akan sangat berguna kalau kita mencari A dengan pangkat cukup besar

sehingga nanti kita bagi menjadi A pangkat P-1 kali A pangkat sesuatu

nanti A pangkat P-1 akan sama dengan atau kongruen dengan satu modulo P

Kalau kita lihat di sini sebelah kiri dan sebelah kanan sama-sama kita kalikan dengan A

maka kita akan mendapatkan kongruensi yang baru yaitu A pangkat P itu akan kongruen dengan A modulo P.

Sekarang kalau kita bekerja di himpunan ZP di mana P-nya di sini prima

maka kalau kita punya A pangkat P-1 itu akan sama dengan satu dalam ZP-nya.

Misalnya kita diminta untuk mencari 7 pangkat 222 modulo 11.

Kalau kita mengerjakan dengan cara biasa berarti kita harus mencari 7 pangkat 222 itu berapa

Tapi karena si teorema kecil Fermat ini kita cukup menghitung P-nya di sini kan 11 ya

Kita tahu bahwa 7 pangkat 10 itu kongruen dengan 1 modulo 11.

Sehingga kalau 7 pangkat 10 itu kita kalikan dengan K

maaf dipangkatkan dengan K itu akan tetap kongruen dengan 1 modulo 11 kan ya.

Karena satunya juga dipangkatkan K dapatnya 1.

Nah sekarang kita lihat si 222 yang menjadi pangkat tadi yang cukup besar

itu kita bisa hitung nilainya adalah 22 dikali 10 ditambah 2.

Sehingga si 7 pangkat 222 tadi kita pecah menjadi si 222 nya menjadi 22 kali 10 ditambah 2.

Sehingga kita bisa mendapatkan persamaan 7 pangkat 10 pangkat 22 dikali 7 pangkat 2.

Karena si 7 pangkat 10 ini akan kongruen dengan 1 modulo 11

jadi ngitungnya kan lebih gampang ya karena tinggal 1 pangkat 22 adalah 1

Nah 49 ini kalau di modulo 11 kita akan dapat 5.

Sehingga dengan mudah kita bisa mencari 7 pangkat 222 modulo 11 itu sebetulnya sama dengan 5.