Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas inklusi-eksklusi dalam Matematika Diskrit, di mana kardinalitas gabungan himpunan dijelaskan menggunakan prinsip inklusi dan eksklusi. Konsep tersebut digunakan untuk menghitung kardinalitas gabungan himpunan A dan B dengan mengurangi kardinalitas irisan A dan B. Contoh penerapan prinsip ini adalah dalam menghitung jumlah mahasiswa yang mengambil bidang minat ilmu komputer dan matematika. Prinsip inklusi-eksklusi juga dapat digunakan untuk menghitung bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 dan habis dibagi 7 atau 11, dengan hasil akhir sebanyak 220. Diagram Venn digunakan untuk memvisualisasikan konsep tersebut secara lebih jelas.

Topik kali ini adalah inklusi-eksklusi, jadi topik ini terkait dengan kardinalitas gabungan beberapa

Kita mulai dengan dua himpunan ya, jadi kalau kita punya himpunan A dan B maka kalau kita mau menghitung kardinalitas dari A gabung B

itu akan sama dengan kardinalitas A ditambah kardinalitas B dikurangi dengan kardinalitas A iris B

kenapa? karena kalau kita melihat mungkin yang paling mudah adalah pakai diagram pen

jadi kalau kita punya dua himpunan kebetulan beririsan ini A dan B

kalau kita cari kardinalitasnya kan berarti kardinalitas A ditambah dengan kardinalitas B

tapi ada bagian disini yang terhitung dua kali sehingga kita harus mengurangi satu kardinalitas dari A irisan B

makanya disini ditambahkan dikurangi kardinalitas dari A iris B

kalau himpunan A dan B saling lepas maka kardinalitasnya adalah kardinalitas A ditambah kardinalitas B

kenapa disini masih pakai yang A iris B? karena disini A iris B kosong berarti kardinalitasnya 0

untuk kasus yang berikutnya adalah kalau misalnya B itu adalah subhimpunan dari A atau sebaliknya

maka kita bisa lihat ini kardinalitas A ditambah kardinalitas B kita lihat bahwa B ini terhitung dua kali

kalau B itu adalah subhimpunan dari A, A iris B akan sama dengan B sendiri

jadi nanti yang double pada saat kita menghitung kardinalitas B itu akan dihapus dengan A iris B kardinalitasnya

jadi untuk kasus yang manapun rumus ini berlaku

misalnya kalau di kelas matematika diskret itu mahasiswanya biasanya mengambil bidang minat ilmu komputer atau matematika

atau keduanya kalau ada double degree-nya

banyak mahasiswa yang mengambil bidang minat ilmu komputer dan mungkin juga mengambil bidang minat matematika itu 25 orang

jadi kita daftar siapa yang apa namanya minatnya adalah ilmu komputer itu ada 25 orang

dan yang mengambil bidang matematik itu 13 orang

mungkin diantaranya juga ada yang double dengan bidang minat yang ilmu komputer

sekarang kalau kita cari kita data maka banyak mahasiswa yang mengambil kedua bidang minat tersebut itu ada 8 orang

jadi sebetulnya berapa banyak sih mahasiswa di kelas matematika diskret itu

pertama kita misalkan dulu A itu adalah himpunan mahasiswa di kelas matematika diskret yang mengambil bidang minat ilmu komputer

sedangkan B adalah himpunan mahasiswa dalam kelas matematika diskret yang mengambil bidang minatnya matematika

A iris B itu artinya dia mengambil bidang minat ilmu komputer sekaligus bidang minat matematika

karena mahasiswa di kelas matematika diskret itu mengambil bidang minatnya ilmu komputer matematika atau keduanya

maka banyak mahasiswa dalam kelas diskret itu adalah A digabung B

sehingga kalau dicari ini kardinalitasnya kita pakai rumus yang tadi akan sama dengan kardinalitas A

yaitu banyaknya yang tadi untuk bidang ilmu komputer ada 25

kemudian ditambah kardinalitas B yang mengambil matematik 13

dikurangi yang memilih keduanya jadi dikurangi 8

jadi banyak mahasiswa dalam kelas matematika diskret itu 30 orang

karena kita pakai diagram pen ini A nya sebanyak 25

B nya sebanyak 13 dan karena ada yang memilih keduanya jadi disini beririsan

jadi jumlah keseluruhannya itu adalah banyaknya kardinalitas dari A 25

dikurangi banyak kardinalitas dari A iris B dikurangi 8

mungkin dengan diagram pen itu lebih kelihatan daripada kalau dijelaskan dengan kata-kata

nah prinsip ini bisa juga misalnya dicoba untuk melihat

berapa banyak sih bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000

jadi bilangan yang tidak lebih dari 1000 tapi habis dibagi 7 atau 11

jadi A nya disini adalah himpunan bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000

habis dibagi 7 sedangkan B itu sama tapi dia habis dibagi 11

dan kita tahu misalnya bilangan 77 itu kan habis dibagi 11 juga dibagi 7

sehingga ada bilangan-bilangan yang masuk ke dalam 2 himpunan tersebut

jadi sekarang karena pertanyaannya itu adalah atau dibagi 7 atau dibagi 11

berarti kita menghitung kardinalitas dari A gabung B

sedangkan tadi yang 77 tadi itu masuk di A iris B

untuk kardinalitas A kita bagi 1000 dengan 7

ini bukan bilangan bulat sehingga kita ambil floor nya

jadi bilangan bulat yang lebih kecil dari nilai 1000 dibagi 7

berarti dia dibagi 11 sama diambil floor nya kita dapat 90

sekarang kita tinggal masukin ke rungusnya

kardinalitas A gabung B adalah kardinalitas A ditambah kardinalitas B

jadi 142 90 dikurang 12 itu nilainya adalah 220

jadi bilangan positif yang tidak lebih dari 1000 habis dibagi 7 atau 11

kalau tidak percaya boleh dihitung sendiri ya

ini adalah bentuk penjelasan diagram Venn nya

dan yang penamanya irisan keduanya adalah 12