Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang definisi kombinasi dalam matematika diskrit. Kombinasi merupakan pemilihan elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya. Contoh penerapan kombinasi adalah dalam memilih pemain tenis untuk pertandingan, di mana jumlah cara yang mungkin dihitung menggunakan rumus kombinasi. Perbedaan antara kombinasi dan permutasi adalah pada penekanan urutan. Kombinasi menghasilkan hasil yang lebih sedikit daripada permutasi. Ilustrasi sederhana dengan martabak manis digunakan untuk membedakan konsep permutasi dan kombinasi. Jadi, kombinasi dari n elemen yang diambil r elemen sama dengan kombinasi dari n elemen yang diambil n-r elemen.

Kita lanjutkan pembahasan kita dengan kombinasi ya, jadi kombinasi R elemen dari suatu himpunan yang berisi dari N elemen itu pemilihan R elemen dari himpunan tersebut tanpa memperhatikan urutannya.

Jadi kita akan membuat kombinasi R itu subset dari R elemen dari himpunan aslinya, nanti akan dikasih lambang CNR dengan pakai kurung atau pakai indeks dan CR kemudian superindeksnya N.

Sekarang kita lihat contohnya, misalkan kita punya himpunan 4 elemen 1, 2, 3, 4, berapa sih 3 kombinasi yang mungkin, 3 kombinasi itu artinya kita memilih 3.

Kalau di permutasi yang lalu yang kita bahas 1, 3, 4 sama 4, 1, 3 itu dianggap berbeda, kalau di sini itu dianggap susunan yang sama sehingga nanti kombinasinya yang ada tinggal 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4 dan 2, 3, 4.

Jadi kita hanya punya 4 kombinasi dari 3 elemen yang berasal dari 4 elemen yang disediakan.

Misalnya contohnya, berapa banyak cara memilih 4 pemain dari 10 anggota tim tenis untuk melakukan pertandingan ke universitas lain, misalnya kalau di universitasnya punya tim pemain tenis, jadi ada olahraga tenis di sana.

Maka yang kita lakukan adalah memilih 4 kombinasi dari 10 pemain, rumusnya adalah 10! dibagi 4 kombinasinya tapi nanti pembaginya itu dikali lagi dengan 6! jadi 10-4!

Sehingga nanti kita akan dapat 10! dibagi 6! itu adalah 7, 8, 9, 10 kemudian 4! adalah 4, 3, 2 jadi seluruhnya itu 210 cara.

Jadi ini agak berbeda karena ini adalah pemain tenis jadi mau ABCD, CDAB itu sama saja karena itu 4 orang yang 4 orang itu.

Agak beda sama waktu kita memilih pengurus dari suatu organisasi, kita ngitungnya pakai permutasi yang itu kalau ini sekarang kita pakai kombinasi.

Jadi kombinasi yang terbentuk jika dari n unsur yang berbeda kita ambil r unsur, r nya syaratnya sama dengan permutasi harus lebih kecil sama dengan n dan lebih besar sama dengan 0,

maka cnr nya itu akan sebetulnya permutasi juga tapi dibagi lagi dengan n-r!

n-r! itu berasal dari ya itu tadi yang apa namanya kalau 4 pemain tenis itu ada kombinasi yang apa namanya di antara mereka itu dianggap sama ya itu ada sebanyak n-r!

Buktinya adalah kita pakai permutasi jadi kalau kita punya permutasi r itu nanti akan mengurutkan elemen-elemen sebanyak r tadi itu nanti akan ada pnr gitu ya

tapi kalau kita punya r elemen kita urutkan kita akan punya prr jadi r elemen diambil dari r elemen juga dari himpunan r elemen.

Sehingga nanti dengan penamanya penjelasan dari permutasi dan kombinasi kita akan dapat permutasi n-r itu akan sama dengan cnr dikali dengan prr nya.

Prr itu tadi yang ABCD sama CDBA itu merupakan hal yang berbeda sehingga nanti kita akan dapat hasilnya cnr nya atau kombinasinya adalah permutasi n-r dibagi permutasi r-r

nanti akan kita peroleh rumus n! dibagi r! kali n-r! gitu.

Jadi mesti diingat bahwa banyaknya kombinasi itu lebih sedikit dari banyaknya permutasi.

Biasanya saya kasih ilustrasi supaya ingat karena biasanya kita suka lupa nih yang permutasi mana yang kombinasi mana gitu ya karena semuanya kan seolah-olah kombinasi.

Martabak manis itu biasanya tukangnya itu selalu punya aturan ya apakah dia mau naruh coklat dulu apa kacang dulu atau keju dulu biasanya keju itu belakangan.

Tapi kalau dilihat dari rasa mau ditaruh keju dulu coklat baru kacang itu sama jadi banyaknya rasanya itu adalah satu gitu ya mau urutannya seperti apa.

Tapi kalau melihat urutan cantiknya itu pakai permutasi gitu karena atau selera ya kalau selera itu pakai permutasi.

Jadi kalau kamu misalnya pakai beli martabak manisnya yang terbuka itu akan kelihatan kan atasnya mau yang keju dulu atau yang coklatnya atau yang kacangnya itu beda gitu itu permutasi.

Tapi begitu dilipat rasanya jadi kombinasi gitu jadi martabak kombinasi nah itu jadi itu kombinasi ya.

Oke dari definisinya untuk kombinasi kita juga bisa lihat bahwa kombinasi dari nr jadi r elemen diambil dari n elemen itu akan sama dengan kalau kita ngambilnya n min r elemen dari n elemen juga gitu.

Jadi misalnya saya punya n nya itu 5 gitu ya n nya 5 maka kalau saya mencari banyaknya kombinasi 3 elemen diambil dari 5 yang tersedia itu akan sama dengan kalau kita ngambil 2 dari n elemen yang tersedia.

Karena ingat ya pembaginya itu adalah r faktorial dikali n min r faktorial atasnya pembilangnya itu n faktorial.

Jadi mau ngambil r atau mengambil n min r itu sama nilainya tinggal ditukar tempat aja.