Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang kombinasi dan koefisien binomial dalam Matematika Diskrit. Konsep kombinasi digunakan untuk menentukan kemungkinan kombinasi angka pada nomor telepon 4 digit. Koefisien binomial digunakan dalam ekspansi persamaan matematika seperti (X + Y)^N. Identitas Pascal dan identitas van der Monde juga dibahas dalam video ini, memberikan cara cepat untuk mencari koefisien ekspansi. Konsep kombinasi digunakan untuk mencari koefisien tertentu tanpa perlu menghitung semua kemungkinan. Video ini memberikan pemahaman yang baik tentang penerapan kombinasi dan koefisien binomial dalam matematika diskrit.

Oke kita lihat contoh misalnya untuk menentukan di sini si contohnya nomor telpon 4 dijit meskipun kita enggak punya nomor telpon 4 dijit ya.

Anggap aja kita mau bikin 4 nomor tapi kalau kita pakai nomor telpon maka angka pertama itu enggak mungkin 0 gitu ya.

Jadi pasti tinggal 1 sampai 9 pilihannya, kalau yang kedua boleh 0.

Kemudian di sini juga apa namanya kalau telpon rumah mungkin ada beberapa yang sudah tidak punya telpon rumah sekarang,

setiap daerah itu ada apa dijit pertamanya yang tertentu gitu ya.

Kalau daerah Jakarta itu pasti 7 gitu, daerah Depok juga 7, mungkin kalau Surabaya nanti beda lagi gitu ya.

Kalau kita anggap di sini kotanya itu tidak ditentukan berarti di tempat pertama itu boleh angka 1 sampai 9 aturannya.

Tapi di sini ada syaratnya 4 angka berderet semakin ke kanan semakin besar.

Jadi kita lihat bahwa untuk nilai 1, 2, 3 itu tidak mungkin ditaruh di posisi yang keempat

karena itu kan nanti jatuhnya sudah paling kecil.

Jadi misalnya angka yang di tempat pertama itu 1, 2, 3 juga bisa tapi kalau 9 sudah enggak bisa

karena enggak ada angka yang lebih besar lagi.

Jadi kalau kita punya 4 angka kemungkinan yang terakhir itu 9 maka yang ke kirinya akan 8, 7, 6.

Jadi untuk yang pertama itu hanya bisa ambil pilihan 1 sampai 6 gitu.

Untuk yang kedua itu bisa 0 sampai 7 kemudian untuk yang posisi ketiga itu bisa 0 sampai 9

tapi mesti diingat di sini enggak boleh juga turun dari 7 gitu.

Jadi dia naik terus nanti akan turun kembali karena di sini pakai ada semakin ke kanan semakin besar.

Jadi ini semua kasus harus kita hitung gitu ya.

Kemudian kalau ada angka yang sama masing-masing 2 buah nah ini kita pakai kombinasi berulang.

Jadi dari rumus yang sebelumnya di sini ada CRn plus R minus 1 itu artinya nanti Rnya 2 untuk nnya 4

Jadi itu kira-kira aplikasi dari kombinatorik dan juga sebelumnya sudah kita bahas permutasi.

Sekarang kita akan bahas kombinasi tapi untuk hal yang berbeda.

Jadi misalnya kita punya ekspresi X plus Y pangkat 3.

Kita tahu bahwa X plus Y pangkat 3 itu artinya X plus Y kali X plus Y kali X plus Y.

Kalau kita kalikan nanti kita akan dapat X pangkat 3 ditambah 3 X kuadrat Y ditambah 3 X Y kuadrat ditambah Y pangkat 3.

Sekarang kalau kita mau menghitung X plus Y pangkat 25.

Kadang-kadang itu kita perlunya tidak semua koefisien tapi misalnya hanya perlu koefisien dari X pangkat 12 sama Y pangkat 13.

Kalau dengan cara yang biasa maka kita harus mengalikan dulu X plus Y pangkat 25

nanti kalau sudah dapat lengkap baru kita lihat X pangkat 12 Y pangkat 13 itu koefisiennya berapa.

Atau X pangkat 13 Y pangkat 12 itu koefisiennya berapa.

Kalau anak sekarang sih bilang tinggal masukin di Google bu nanti akan dapat lah mau pangkatnya berapa.

Ini asumsinya kita nggak boleh konek ke internet, nggak boleh ada koneksi ke internet.

Ini soal ujian gitu suruh dicari X plus Y pangkat 25 tapi yang diminta adalah koefisien X pangkat 12 Y pangkat 13.

Ternyata ini ada hubungannya sama kombinasi gitu.

Jadi kalau kita punya peubah X dan Y kemudian ada N bilangan positif

maka ekspansi dari X plus Y pangkat N itu adalah jumlahan dari X pangkat N min J Y pangkat J

koefisiennya adalah kombinasi dari J elemen ngambil dari N elemen jadi C N J.

Sehingga kalau di jabarkan itu adalah kombinasi N 0 untuk X pangkat N ditambah kombinasi N 1 kali X pangkat N min 1 Y

Sehingga untuk soal kita tadi kita nggak usah ngitung semua koefisien kita hanya menghitung X pangkat 12 jadi R pangkat 12 disitu

Dan masih ingat ya kalau untuk kombinasi ini 12 pangkat 13 itu kalau di jumlah kan dapatnya 25.

Jadi kombinasi 25 pangkat 12 sama kombinasi 25 pangkat 13 itu nilainya sama yaitu 5.200.300 gitu.

Jadi kalau kita cari sendiri dari pangkat 25 ini nggak dikumpulin ini soal ujian seharian soalnya ngerjainnya ya.

Tapi ini kalau cuma dikasih waktu 5 menit itu dengan cepat kita bisa cari seperti ini.

Nah ini yang kita sebut sebagai koefisien binomial ya jadi untuk ekspansi yang seperti itu dengan kombinasi.

Akibatnya itu kita bisa mencari bentuk-bentuk jumlahan tertentu

jadi misalnya sigma dari kombinasi NK untuk K nya 0 sampai N itu nilainya adalah 2 pangkat N.

Ini kita ngambilnya dari yang persamaan binomial tadi ambil X nya 1 Y nya 1

jadi kalau 2 pangkat N itu kan sama dengan 1 tambah 1 pangkat N.

Nah terus kita masukkanlah X nya 1 Y nya 1 di dalam apa namanya teorema binomial

nanti kita akan dapat sigma dari K 0 sampai N dari kombinasi NK 1 pangkat K 1 pangkat N min K.

Nah 1 pangkat berapapun itu adalah 1 jadi nanti kita akan dapat jumlahan dari K nya 0 sampai N dari kombinasi NK.

Kita punya satu persamaan baru, satu ekspresi baru yang terkait sama kombinasi.

Nah sekarang kalau kita punya jumlahnya sigma adalah min 1 pangkat K dikalikan NK atau kombinasi K dari N itu ternyata hasilnya 0.

Ini juga kita pakai apa namanya persamaan binomial tadi ekspresi binomial dengan mengambil X nya min 1 Y nya 1.

Nanti kita masukkan hasilnya adalah seperti ini.

Kalau misalnya kita ngambilnya tadi kan 2 pangkat N kemudian 0,

Nah 3 pangkat N ini X nya kita ngambilnya 2 Y nya 1,

jadi nanti di sini ada 2 pangkat K kali 1 pangkat sekian dikoefisien dari penjumlahannya

nanti kita akan dapat sigma K 0 2 dari 2 pangkat K dikali kombinasi NK.

Ini nanti kamu coba sendiri di persamaan atau ekspresi binomialnya dengan X nya 2 Y nya 1

atau mau terbalik juga boleh X nya 1 Y nya 2.

Koefisien binomial dan juga si kombinatorik tadi itu bisa juga dilihat dari identitas pascal.

Kalau kamu masih ingat dulu mungkin waktu di SMA waktu belajar tentang ekspansi itu kita pakai segitiga pascal

yang bentuknya di atas itu 1 kemudian 1 1, 1 2 1 terus nanti kita jumlahin ya

1 sama 2 dapetnya 3, 2 1 dapetnya 3 terus ujungnya 1.

Terus nanti baris berikutnya kita mulai dari 1 kemudian 1 tambah 3 itu 4,

3 tambah 3 6, 3 tambah 1 4 kemudian ditutup dengan 1 jadi kita dapet 1 4 6 4 1 dan seterusnya.

Ini untuk apa? Ini adalah untuk menghafalkan atau cara cepat mencari koefisien dari ekspansi tadi.

Jadi kalau kita punya X plus Y pangkat 2 gitu ya maka koefisiennya adalah 1 2 1

artinya ini nanti kita punya X kuadrat plus 2 X Y plus Y kuadrat.

Kalau kita punya ini untuk 2 ya, kalau pangkat 3 yang berikutnya pangkat 4 yang 1 5 10 10 5 1 dan seterusnya.

Jadi nanti kalau kita misalnya cari X pangkat 5 kita pakai koefisien yang ini.

Dan ternyata angka-angka yang di segi 3 pascal itu akan sama dengan kalau kita pakai kombinasi

untuk yang ekspresi kuadrat tadi adalah kombinasi pangkatnya kan 2 ya.

Jadi kombinasi 2 0, 2 1 dan 2 2 jadi kayak mengambil 0 dari 2 mengambil 1 dari 2 dan mengambil 2 dari 2 gitu.

Nanti kita akan dapat 1 2 1 gitu nanti nilainya.

Kemudian untuk yang pangkat 5 itu adalah dari 6 ya, jadi 6 diambil 0 kemudian maaf saya ketuker ini harusnya 6 ya.

Pangkat 6 itu adalah 6 0, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 dan 6 6 itu akan sama dengan 1 6 15 20 15 61 ya.

Jadi ini tadi harusnya bukan pangkat 5 tapi pangkat 6 ini tadi saya agak tergeser.

Nah ini bisa dituliskan juga dengan identitas pascal tadi bahwa kombinasi K dari N plus 1 bilangan

akan sama dengan kombinasi kita mengambil K min 1 dari N ditambah kombinasi dari N.

Buktinya seperti apa ini kita tinggal cari nilainya masing-masing kemudian nanti dengan jumlahan itu kita buktikan

nanti akan bisa dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan.

Dari persamaan binomial dan kombinasi tadi kita akan bisa mendapatkan satu persamaan-persamaan yang lain

yang salah satunya kita sebut sebagai identitas van der Monde itu bentuknya adalah seperti ini.

Jadi kombinasi dari M plus N R itu akan sama dengan sigma K nya 0 sampai N

dari perkalian kombinasi R min K dari M dikali dengan kombinasi K dari N.

Dan kalau nanti kita bisa dapatkan N nya bilangan bulatan negatif M nya kita anggap sama dengan N

kita akan dapat identitas yang berikutnya.

Jadi kita akan tahu bahwa kombinasi R diambil dari 2 N atau kombinasi 2 N R

itu akan sama dengan sigma N K kuadrat karena itu M R min K dan N K nya itu akan sama.

Ini diambil dari teorema identitas van der Monde.

Identitas-identitas yang lain itu juga bisa kita peroleh dari situ

misalnya kalau kita punya N R bilangan tidak negatif artinya boleh 0 dan R nya lebih kecil sama dengan N.

Kalau biasanya kan kita mengambilnya kombinasi N R,