Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas notasi relasi dalam Matematika Diskrit, khususnya pada konsep relasi. Notasi relasi menggunakan simbol yang serupa dengan lebih kecil sama dengan, namun tidak selalu berlaku karena himpunan yang dibahas bervariasi. Dalam poset, elemen A dan B mungkin tidak selalu memiliki relasi lebih kecil sama dengan, sehingga bisa tidak dapat dibandingkan atau incomparable. Terdapat juga konsep terurut total di mana setiap dua elemen dalam poset dapat dibandingkan, disebut juga sebagai terurut linear atau rantai. Contohnya, himpunan bilangan bulat dengan operasi lebih kecil sama dengan merupakan terurut total, sementara Z plus dengan operasi pembagian tidak terurut total karena terdapat elemen yang tidak dapat dibandingkan. Jika poset terurut total dan setiap subhimpunan memiliki elemen terkecil, disebut sebagai Bell Order Set.

Nah, sekarang kita kan biasa menggunakan huruf R sebagai simbol untuk mengatakan relasi.

Nah, sekarang khusus untuk poset, simbol yang digunakan itu seperti simbol lebih kecil sama dengan, tapi agak berbeda di sini ya.

Jadi, dia sebetulnya bukan lebih kecil atau sama dengan, tapi simbolnya itu diambil sedikit serupa.

Walaupun dia tidak mengatakan persis lebih kecil atau sama dengan, karena himpunan yang kita bahas di sini bisa macam-macam ya.

Bisa orang, bisa himpunan, bisa fungsi, bisa segala macam, sehingga istilah lebih kecil itu tidak selalu berlaku.

Nah, notasinya di sini ada yang dibuat tidak boleh sama dengan.

Tidak boleh sama dengan, jadi hanya strictly dalam hal lebih kecil itu lebih kecil tidak boleh sama dengan.

Notasinya adalah kayak A lebih kecil B, tapi agak pakai notasi yang relasi ini, jadi dia tidak boleh sama dengan B.

Nah, kalau A dan B itu elemen dari poset S dengan relasi urutan parsial, maka tidak selalu berlaku A itu lebih kecil sama dengan B dalam tanda kutip,

atau B lebih kecil sama dengan A, jadi bisa saja dia tidak berrelasi satu sama lain.

Jadi, kalau misalnya kita punya himpunannya tadi, himpunan kuasa dari himpunan bilangan bulat misalnya,

kemudian relasinya adalah subset, maka kalau kita ambil himpunan 1-2 itu tidak berrelasi dengan 1-3,

jadi 1-2 itu bukan, himpunan 1-2 maksudnya itu tidak merupakan subset dari himpunan 1-3,

himpunan 1-3 itu tidak merupakan subset dari himpunan 1-2.

Jadi, artinya bahwa di setiap atau kita ambil sepasang elemen dari himpunan tersebut tidak selalu harus ada relasinya,

dalam hal ini relasinya relasi urutan parsial, karena kadang dia tidak memenuhi.

Sehingga kalau dua elemen A dan B itu bisa dicari relasinya,

atau dapat dibandingkan dalam bahasa Inggrisnya pakai silah comparable,

maka A-nya itu akan lebih kecil sama dengan B atau B lebih kecil sama dengan A.

Kalau tidak berlaku dua-duanya tidak A lebih kecil B atau tidak B lebih kecil A,

maka kita sebut A dan B itu tidak dapat dibandingkan atau incomparable.

Ini nanti ada kaitannya dengan diagram yang akan kita bahas berikutnya.

Sekarang kita lihat contohnya, di contoh sebelumnya kita sudah bahas bahwa Z+,

jadi himpunan bilangan bulat positif dengan operasi pembagian,

itu mau dilihat apakah 3 dan 9 itu comparable tidak, 5 dan 7 comparable tidak,

Kita tahu bahwa 3 itu membagi 9, berarti dia bisa dibuat relasi antara 3 sama 9,

jadi 3 dan 9 itu comparable atau dapat dibandingkan.

Tapi kalau 5 dan 7 itu tidak bisa, karena 5 itu tidak berrelasi dengan 7,

karena 5 tidak bisa membagi 7, maka kita mengatakan 5 dan 7 itu tidak comparable

atau incomparable atau tidak dapat dibandingkan.

Kalau kita punya S dengan relasi yang tadi kita ambil pinjam lebih kecil sama dengan notasinya,

dan kalau itu poset maka tiap dua elemen itu comparable,

S-nya itu akan disebut sebagai terurut secara total.

Tadi kita sudah lihat contohnya bahwa di dalam poset itu kadang-kadang juga ada dua elemen yang tidak bisa dibandingkan,

tapi kalau semua elemen itu bisa saling dibandingkan,

maka si poset itu akan disebut sebagai terurut total atau bisa juga disebut sebagai terurut linear.

Nah, himpunan yang terurut total itu seringkali juga disebut sebagai rantai atau chain.

Kita lihat contohnya, kalau himpunan bilangan Z dengan operasinya lebih kecil sama dengan,

ini beneran lebih kecil sama dengan karena ini adalah membandingkan dua bilangan bulat,

itu adalah terurut total karena kalau kita mengambil dua elemen sembarang A dan B,

pasti kita bisa menentukan apakah A-nya lebih kecil sama dengan B atau B-nya lebih kecil sama dengan A.

Sebelumnya kita sudah tunjukkan bahwa dia merupakan poset,

jadi karena setiap pasang elemen itu comparable atau bisa dibandingkan,

Tapi kalau Z plus dengan operasi pembagian itu tidak terurut total,

karena tadi kita sudah bahas 5 itu tidak bisa dibandingkan dengan 7,

sehingga kita tidak bisa mengambil sepasang elemen di dalam Z plus dengan operasi saling membagi

yang kita selalu bisa mengatakan bahwa A membagi B atau B membagi A,

Kalau dia terurut total dan setiap subhimpunan dari S yang kosong itu selalu mempunyai elemen terkecil,

maka S dengan relasi tadi kita sebut sebagai Bell Order Set.

Jadi dia harus poset dulu, kemudian juga dia terurut total,

dan setiap subhimpunan itu yang tidak kosong tentunya itu pasti punya elemen terkecil.

Elemen terkecil dalam hal ini mengikuti relasi yang tadi lebih kecil sama dengan,

tapi sebetulnya bukan lebih kecil sama dengan.