Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas penerapan Prinsip 3 Himpunan dalam Matematika Diskrit. Dalam contoh kasus, mahasiswa memilih bidang ilmu komputer atau matematika. Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, kita dapat menghitung jumlah mahasiswa yang tidak memilih kedua bidang tersebut. Selain itu, video juga menjelaskan cara menghitung kardinalitas gabungan tiga himpunan menggunakan diagram Venn. Contoh penerapan rumus untuk tiga himpunan disajikan dengan kasus jumlah siswa yang menguasai tiga bahasa. Dengan mengikuti rumus yang tepat, dapat dihitung bahwa terdapat 7 siswa yang menguasai ketiga bahasa tersebut.

Ada lagi contoh lain misalnya, kalau tadi kan kuliahnya itu matematik diskrit tapi mahasiswanya itu ada yang mengambil bidang minat ilmu komputer atau matematika.

Nah sekarang kalau misalnya soalnya agak diganti gitu, misalnya kita punya 1.807 mahasiswa baru,

453 itu ngambil ilmu komputer, 567 ngambil matematik, 299 ngambil kedua minat.

Nah sekarang yang ditanya adalah yang tidak mengambil bidang minat ilmu komputer atau matematika,

misalnya ngambilnya fisika, ada berapa? Misalnya mahasiswa barunya itu untuk agnipa.

Nah sekarang kalau dicari kita bisa tetap pakai prinsip inklusi-eksklusi, jadi A-nya adalah

himpunan mahasiswa baru yang mengambil bidang minat ilmu komputer dan B-nya adalah himpunan mahasiswa baru yang mengambil bidang matematika.

Jadi banyaknya elemen di A itu 453, banyaknya elemen di B itu 507, dan yang keduanya itu 299.

Sekarang kalau kita mau cari yang tidak ngambil matematika,

dan juga yang bukan keduanya, maka kita mencarinya adalah yang mengambil matematika atau ilmu komputer atau keduanya.

Terus nanti kalau sudah dapat nilainya jumlah keseluruhan dikurangi nilai dari A gabung B itu.

Jadi kita tetap cari kardinalitas A gabung B, sama pakai rumus itu kardinalitas A ditambah kardinalitas B dikurang kardinalitas A iris B.

Jadi nanti kita masukkan nilainya 453 ditambah 567 dikurang 299 berarti 721.

Jadi 721 mahasiswa ini mengambil matematika atau ilmu komputer.

Jadi yang tidak mengambil adalah 1.807 dikurangin 721 yaitu 1.086 orang.

Sekarang bagaimana kalau himpunannya ada tiga, tadi kan himpunannya cuma dua, kardinalitas dari A gabung B gabung C itu jadinya seperti apa?

Kita lihat diagram Venn-nya supaya lebih terbayang.

Jadi ini ada A, ada B, ada C, yang bagian ini satu-satu maksudnya dihitung satu kali.

Tapi yang di bagian ini A iris B yang bagian dicoret ini itu dihitung dua kali,

yang di bagian irisan ketiganya itu malah dihitung tiga kali, yaitu dihitung pada saat A dihitung untuk B dan dihitung juga untuk C.

Jadi ini bayangannya ada yang dihitung satu kali, ada yang terhitungnya jadi dua kali, ada yang tiga kali.

Sehingga nanti pada saat menuliskan rumusnya bagian A-nya ini kardinalitasnya B dan C itu harus dikurangi dengan bagian A iris B yang ini,

dikurangin dengan A iris C yang ini, dikurangi dengan B iris C yang ini.

Ternyata kalau kita perhatikan yang bagian irisan tiga ini, tiga himpunan itu pada saat dikurangi itu jadi terlalu banyak sampai tiga kali,

padahal harusnya kan dia cuma satu kali-satu kali, sehingga dia harus ditambahkan dengan yang gabungannya yaitu kardinalitas dari A iris B iris C.

Karena pada saat kita mengurangi dengan kardinalitas A iris B, A iris C dan B iris C itu elemen A iris B iris C-nya itu terlalu banyak mengambilnya,

Jadi ini adalah rumus untuk tiga himpunan.

Kalau kita lihat contohnya, misalnya di sini suatu sekolah ada 1232 siswa yang bisa bahasa Spanyol, 879 siswa yang bisa bahasa Perancis, 114 siswa yang berbahasa Rusia.

Terus ada 103 yang bisa berbahasa Spanyol dan Perancis, 23 itu bisa berbahasa Spanyol dan Rusia, dan 14 bisa bahasa Perancis dan Rusia.

Kalau misalnya 2092 siswa itu dia menguasai minimal satu dari ketiga bahasa tersebut, berapa banyak siswa yang bisa tiga-tiganya?

Jadi itu kita mencarinya adalah pakai kardinalitas gabungan tiga himpunan.

Jadi di sini S-nya adalah siswa yang mampu berbahasa Spanyol, F-nya adalah himpunan siswa yang mampu berbahasa Perancis, R-nya adalah siswa yang mampu berbahasa Rusia.

Terus kita dari soal tadi kardinalitas S ada 1232, kardinalitas F-nya 879, kardinalitas R-nya 114, yang bisa bahasa Spanyol dan Perancis ada 103, yang Spanyol dengan Rusia itu 23, dan Perancis dan Rusia itu 14.

Kemudian angka-angka ini kita masukkan ke rumus yang kardinalitas dari tiga himpunan S gabungan F gabungan R.

Jadi di sini adalah kardinalitas S ditambah kardinalitas F ditambah kardinalitas R, dikurangi irisannya kardinalitas S iris F, S iris R, dan F iris R, kemudian ditambah lagi jangan lupa irisan dari ketiganya.

Jadi kalau kita masukkan nanti kita akan dapat bentuk 2092 itu adalah jumlah siswa keseluruhan sama dengan yang tadi ya bahasa Spanyol 1232, yang bahasa Perancis 879, yang bahasa Rusia 114,

kemudian ini yang irisan Spanyol dengan Perancis 103, Spanyol dengan Rusia 23, dan Perancis dengan Rusia itu 14, ditambah yang bisa ketiganya.

Nah yang bisa ketiganya ini kan yang mau dicari ya, jadi kalau kita hitung nanti kita akan dapat yang bisa ketiganya itu ada 7 siswa.

Nah ini gambaran dari diagram pennya, kalau S nya itu adalah yang bisa bahasa Spanyol, F nya Perancis, dan R nya Rusia bentuknya kayak gini yang ditanya adalah yang diirisan ketiga himpunan tadi, jumlahnya sudah kita hitung tadi adalah 7.